Publicamos la solución al divertimento Tableta de chocolate inversa. En esta ocasión Renato Álvarez y Niurka Rodríguez han propuesto una estrategia para resolver el problema.
Divertimento:
En este blog ya hemos hablado de Ana y Bernabé, jugadores empedernidos y matemáticos aficionados. Les solía gustar jugar al conocido juego de la tableta de chocolate en el que hay que retirar onzas alternativamente de una tableta cumpliendo dos reglas: pierde quien retire la última y al tomar una onza hay que llevarse con ella todas las que estén encima y a la derecha de ella.
Sin embargo, descubrieron que existía una estrategia ganadora para alguno de los jugadores, y decidieron cambiar de juego. Con todos los trozos de la tableta que habían retirado (no era ni de lejos la primera tableta con la que jugaban, y ya no tenían tantas ganas de comérsela), idearon el juego inverso de la tableta de chocolate. En este juego, se comienza con el último trozo (que podemos situar en la esquina inferior izquierda de la tableta) y hay que añadir, alternativamente y empezando Ana, bloques rectangulares de onzas de modo que (1) el proceso inverso (es decir, retirar dicho bloque) es un movimiento admisible en el juego original, y (2) las configuraciones de la tableta que van apareciendo al reconstruirla son posiciones factibles en el juego original. Por consiguiente, gana la ultima persona que pueda añadir alguna onza.
Después de un rato jugando, parece que sí que existe una estrategia ganadora y van a tener que buscarse otro juego. ¿Quién puede ganar y cómo?
Solución:
Supongamos que la tableta tiene \(m\times n\) onzas, y asumamos, sin pérdida de generalidad, que \(m\geq n\).
Si \(n=1\), Ana gana en un movimiento: le basta con añadir todos las onzas restantes. Si \(n\geq2\), es Bernabé quien puede ganar. Veamos primero el caso en el que \(n=2\).
Ana tiene tres opciones para su primer movimiento: completa la fila inferior, la columna izquierda o algunas onzas de la columna izquierda. Las dos primeras opciones le permiten ganar a Bernabé en la siguiente jugada, completando la tableta entera.
Si Ana rellena parcialmente la columna izquierda con \(p<m-1\) onzas (recordemos que la primera de esta columna ya está puesta), Bernabé puede rellenar la columna derecha con la misma cantidad. De este modo, el juego se reduce a la situación inicial con una tableta de tamaño \((m-p)\times2\) y Ana se ve forzada a escoger entre las mismas tres posibilidades de antes. Al final, reduciendo la tableta como hemos dicho, nos queda un juego con una tabletita de \(2\times2\) onzas. Haga lo que haga Ana, Bernabé puede rellenar la tableta en su siguiente jugada.
Supongamos ahora que la tableta tiene \(n>2\) columnas de \(m\geq n\) onzas cada una. Ahora, análogamente al caso anterior, Ana dispone de cuatro posibilidades para su primera jugada: rellenar totalmente la primera fila o la primera columna o rellenarlas parcialmente. Las dos primeras, como antes, dan la victoria a Bernabé en el siguiente movimiento.
Si Ana completa parcialmente la primera fila con \(q<n-1\) onzas, Bernabé puede rellenar en su siguiente jugada las el resto de las \(q\) columnas a la izquierda de la tableta, reduciendo el juego a uno con una tableta de tamaño \(m\times (n-q)\). Y, similarmente, si a Ana se le ocurre añadir \(p<m-1\) onzas de la columna izquierda, Bernabé puede hacer lo propio con el resto de las \(p\) filas inferiores, reduciendo el juego a uno con una tableta de dimensiones \((m-p)\times n\). Reduciendo la tableta poco a poco, como antes, llegaremos a una tableta \(2\times 2\), con la que Ana no tendrá ninguna posibilidad.
Nota: este juego se plantea en el artículo The Reversed Zeckendorf Game (apartado 2.1), de donde hemos extraído la solución.
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