Arquímedes y Pi

A pesar de la fama de ingeniero militar que siempre acompañó a Arquímedes, según Plutarco, lo que realmente le interesaban al matemático griego eran los asuntos de la geometría más pura: «En cuanto a Arquímedes, fue tanto su juicio, tan grande su ingenio y tal su riqueza en teoremas, que sobre aquellos artilugios que le habían dado el nombre y gloria de una inteligencia sobrehumana no permitió dejar nada escrito; y es que tenía por innoble y ministerial toda ocupación en la mecánica y todo arte aplicado, y ponía únicamente su deseo de sobresalir en aquellas cosas que llevan consigo lo bello y excelente, sin mezcla de nada servil, diversas». Y es cierto que ningún escrito se ha conservado de Arquímedes sobre ingeniería militar, aunque eso poco significa, porque la forma milagrosa en que han llegado hasta nosotros las obras de Arquímedes que hoy en día conocemos nos dice que no hay que descartar que dejara escritos sobre asuntos más aplicados por el hecho de que no hayan sobrevivido.

Una de las obras conservadas de Arquímedes tiene, de hecho, un sabor aplicado diferente al resto. Es una obrita muy sugerente de apenas media docena de páginas –posiblemente no sean sino un extracto de una obra más extensa que se perdió–, que trata del cálculo aproximado del número \(\pi\).

Hacia el siglo IV a.C. los griegos ya habían descubierto que el área de cualquier círculo y el cuadrado levantado sobre su radio guarda siempre la misma proporción, con independencia del tamaño del círculo. A esa proporción es a la que llamamos hoy \(\pi\). Ese resultado nunca satisfizo a los matemáticos griegos, porque ellos buscaban construir con regla y compás un cuadrado de igual área que un círculo dado, cosa que nunca lograron por la sencilla razón de que esa construcción es imposible; pero eso no se supo hasta finales del siglo XIX, aunque se sospechó mucho antes.

Uno de los que posiblemente sospecharon la imposibilidad de cuadrar el círculo fue Arquímedes. Entonces se le ocurrió hacer algo en cierta forma ajeno a la pureza que Platón había establecido para la geometría: a Arquímedes le dio por hacer una cuadratura aproximada del círculo. O sea, encontrar una aproximación para el número \(\pi\). Para ello, lo primero que hizo fue demostrar que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es siempre la misma, sea cual sea el tamaño de la circunferencia. Además, Arquímedes mostró que esa razón es idéntica a la que la que hay entre el área del círculo y el cuadrado levantado sobre su radio.

Arquímedes aproximó entonces la longitud de la circunferencia mediante un polígono regular de 96 lados, y encontró que el número \(\pi\) está entre las fracciones 223/71 y 22/7. Lo que está bastante bien: las primeras 10 cifras decimales de \(\pi\), 22/7 y 223/71 son, respectivamente,  3’1415926535,   3’1428571428  y  3’1408450704.

Hay que tener en cuenta que aproximaciones para el número se habían calculado en otras culturas; pero no son tan afinadas como esta de Arquímedes. Por ejemplo, la Biblia da implícitamente el valor 3 para \(\pi\). Para su templo de Jerusalén, Salomón ordenó construir un gran depósito de agua –un «mar»– para purificar lo impuro, sostenido sobre el lomo de doce bueyes de bronce; en el Libro Primero de los Reyes (7, 23) se dan las medidas de ese mar: «Hizo el mar de metal fundido, que medía diez codos de diámetro, cinco de altura y treinta de circunferencia». Dado que \(\pi\) es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, deducimos de esa descripción que para Salomón, o para Yahvé –que a fin de cuentas reveló la Biblia–, el número \(\pi\) vale 3. A mí, personalmente, me sorprende una aproximación tan pobre, si tenemos en cuenta que Salomón tuvo fama de sabio y Yahvé de omnisciente –aunque sabido es que la fama no siempre responde a hechos ciertos–.

Volviendo a Arquímedes, a su aproximación cabe hacerle una lectura muy interesante. Para obtenerla, Arquímedes tuvo que lidiar con el cálculo aproximado de raíces y tuvo que hacer bastantes sumas, multiplicaciones y divisiones; tuvo, en definitiva, que mancharse las manos con el mismo barro que manchaba las manos de los agrimensores reales egipcios cuando calculaban el limo que el Nilo había depositado o se había llevado de una parcela.

Referencias:

Antonio J. Durán, Crónicas matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.

Imagen destacada: detalle del óleo Arquímedes (o quizá Demócrito), pintado por Diego Ribera en 1630, Museo del Prado