Sobre el premio Abel
El 20 de Marzo de 2018, la Academia de Ciencias y Letras de Noruega anunciaba la concesión del Premio Abel 2018 al matemático Robert P. Langlands, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, «por su programa visionario que conecta la teoría de las representaciones con la teoría de números».
El premio Abel, que se estableció en el año 2002, puede considerarse como el premio Nobel de las Matemáticas (véase Abel, Nobel, Fields en este mismo blog). Cada año, el premio se otorga a uno o varios matemáticos con el objetivo de reconocer un logro científico pionero en el campo de las matemáticas. ¿En qué consiste este programa visionario desarrollado por Langlands, que le ha hecho merecedor de tan distinguido premio?
En términos muy generales, el programa de Langlands establece una conexión entre dos partes de las matemáticas muy diferentes: la teoría de números y la teoría de las representaciones automorfas. Tradicionalmente, las matemáticas se dividen en diferentes áreas, tales como la geometría, el análisis, o el álgebra. A lo largo de los siglos, a medida que el cuerpo de conocimientos matemáticos ha ido aumentando, también ha aumentado la especialización, de forma que en cada área se van delimitando distintas parcelas que se desarrollan de forma independiente, cada una con su propio lenguaje y sus propias técnicas. No es infrecuente que se requieran años de estudio para aprender las herramientas y alcanzar la frontera del conocimiento en un campo concreto. Debido a esto, cuando se logra establecer una conexión entre dos de estos campos, suele ser un evento muy excitante para la comunidad matemática. La consecuencia inmediata es un desarrollo muy fructífero en las dos áreas, ya que los conocimientos y los instrumentos desarrollados en uno de los campos pueden aplicarse para estudiar el otro. Muchos de los avances más espectaculares ocurren cuando se produce una de estas conexiones. Tal vez el ejemplo más conocido de este fenómeno es la introducción de la geometría analítica, por René Descartes y Pierre de Fermat, donde se utilizan ecuaciones algebraicas para estudiar objetos geométricos, como por ejemplo las curvas.
El programa de Langlands puede formularse de un modo muy preciso, como un diccionario entre dos categorías de objetos: las representaciones de Galois (en el ámbito de la teoría de números clásica) y las representaciones automorfas de grupos reductivos (en el ámbito del análisis armónico en grupos reductivos). Este diccionario permite traducir preguntas clásicas de teoría de números en términos de representaciones automorfas; por ejemplo, esta conexión ha permitido la demostración, después de más de 300 años, del famoso último teorema de Fermat, por Andrew Wiles (que recibió el premio Abel en 2016 por esta prueba). El enunciado concreto de las conjeturas de Langlands requiere un lenguaje muy específico. Aquí tratamos de dar algunas ideas aproximadas sobre ellas.
Primeras observaciones de Fermat
Vamos a comenzar ilustrando la relación entre la teoría de números y la teoría de representaciones con un resultado clásico: caracterizar aquellos números primos \(p\) que pueden escribirse como suma de dos cuadrados, es decir, en la forma \(p=a^2 + b^2\), donde \(a\) y \(b\) son dos números naturales. El siguiente resultado es debido a Fermat (aunque la primera prueba conocida se debe a Euler):
Un primo impar \(p\) se escribe como suma de dos cuadrados si y sólo si \(p\) es congruente con \(1\) módulo \(4\).
Es decir, podremos escribir un primo impar \(p\) como suma de dos cuadrados si cuando dividimos \(p\) entre \(4\), obtenemos como resto el número \(1\). Por ejemplo, los primos \(5\), \(13\), \(17\), \(29\) pueden escribirse como suma de dos cuadrados: \(5= 1^2 + 2^2\), \(13= 2^2 + 3^2\), \(17= 1^2 + 4^2\), \(29= 2^2 + 5^2\); sin embargo, los primos \(3\), \(7\), \(11\), \(19\), \(23\), no pueden escribirse como suma de dos cuadrados.
Podemos relacionar este problema con el problema de encontrar soluciones módulo \(p\) de ecuaciones con coeficientes enteros: si existen enteros \(a\) y \(b\) tales que \(a^2 + b^2=p\), entonces la ecuación \(x^2 + y^2\equiv 0\) módulo \(p\) tiene solución (que además no es la solución trivial \(x\equiv y\equiv 0 \pmod{p}\)). Recíprocamente, puede demostrarse, utilizando la técnica del descenso infinito de Fermat, que si existe una solución módulo \(p\) de la ecuación \(x^2 + y^2\equiv 0\), que no sea la solución trivial, entonces \(p\) puede escribirse como suma de dos cuadrados. Por tanto, el problema original puede reformularse como sigue: caracterizar los números primos \(p\) tales que la ecuación \(x^2 + y^2\equiv 0\pmod p\) tiene una solución no trivial. Utilizando que todo entero que no sea un múltiplo de \(p\) tiene un inverso módulo \(p\), podemos concluir que la ecuación anterior tiene solución no trivial si y sólo si la ecuación \(x^2 + 1\equiv 0 \pmod p\) tiene solución.
Generalizaciones
Esta reformulación del problema nos permite generalizarlo. Por ejemplo, podemos preguntarnos qué primos verifican que la ecuación \(x^2 -2\equiv 0 \pmod{p}\) tiene solución. En este caso, encontramos que la ecuación tiene solución si y sólo si \(2\) es un cuadrado módulo \(p\), o, equivalentemente, si y sólo si \(p=2\) ó \(p\equiv 1, 7 \pmod{8}\). En general, si consideramos el problema de caracterizar el conjunto de los primos \(p\) tales que una ecuación de la forma \(ax^2 + bx + c\equiv 0 \pmod{p}\) tiene solución, encontraremos una condición dada en términos de relaciones de congruencia que debe satisfacer el primo \(p\), módulo un cierto número \(N\) que depende de los coeficientes \(a\), \(b\), \(c\) de la ecuación original. Para demostrar este resultado, se utiliza la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss: Cuando \(p\) y \(q\) son dos primos impares y alguno de ellos es congruente con \(1\) módulo \(4\), entonces \(p\) es un cuadrado módulo \(q\) si y sólo si \(q\) es un cuadrado módulo \(p\). Cuando \(p\) y \(q\) son dos primos impares congruentes con \(3\) módulo \(4\), entonces \(p\) es un cuadrado módulo \(q\) si y sólo si \(q\) no es un cuadrado módulo \(p\).
Un problema más complicado y la aparición de las formas modulares
Vamos a considerar un polinomio de grado superior, digamos \(P(x)= x^4 + x -1\), y nos planteamos el problema de caracterizar aquellos primos \(p\) tales que \(P(x)\equiv 0 \pmod{p}\) tiene 4 soluciones diferentes (en general, nos podemos plantear para qué primos \(p\) ocurre una factorización prefijada de \(P(x)\) módulo \(p\); por ejemplo, \(P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\) se corresponde con el caso en que hay cuatro soluciones). Los primeros primos que cumplen esta condición son \(83\), \(643\), \(773\), \(859\), \(1193\), \(1301\), \(1307\), \(\dots\) Se puede demostrar que no hay ningún conjunto de relaciones de congruencia que caractericen a los primos \(p\) para los que se cumple la condición anterior. Sin embargo, existe un objeto analítico que nos da la solución al problema. En este caso, se trata de una forma modular. Las formas modulares son funciones de variable compleja \(f:\mathcal{H}\rightarrow \mathbb{C}\), definida en el semiplano superior \(\mathcal{H}\), que satisfacen una simetría respecto de un subgrupo de congruencia (definido por un par de enteros, el peso y el nivel) y condiciones de regularidad en el infinito. El estudio de las formas modulares comienza en el siglo XIX, en conexión con las funciones doblemente periódicas, también llamadas elípticas por su relación con el cálculo de integrales elípticas.
En este caso, la función \(f\) que caracteriza al conjunto de los primos \(p\) tales que \(P(x)\equiv 0 \pmod{p}\) tiene 4 soluciones diferentes es una forma modular de nivel \(283\) y peso \(1\). Denotando por \(q=e^{2 \pi i z}\), podemos escribir los primeros términos del desarrollo de Fourier de \(f\):
$$f(z)=q – q^2 – q^3 + q^6 + q^8 – q^{13} – q^{16} + q^{23} – q^{24}
+ q^{25} + q^{26} + q^{27} – q^{29} – q^{31} + q^{39} – q^{41} + \cdots$$
Esta función verifica que aquellos primos \(p\) tales que el coeficiente de \(q^p\) es exactamente \(-2\) son aquellos primos tales que \(P(x)\equiv 0 \pmod{p}\) tiene 4 soluciones diferentes. ¿Por qué tendría una función de variable compleja que determinar la factorización del polinomio \(P(x)\) módulo los distintos números primos? Esta curiosa relación es parte de la red que conecta representaciones de Galois y representaciones automorfas, conjeturada por Langlands y plasmada en una carta al matemático francés André Weil en 1967. Esta carta, escrita a petición del propio Weil, viene precedida de las siguientes líneas: «En respuesta a su invitación para venir y hablar, he escrito la carta adjunta. Tras escribirla, me he dado cuenta de que, de todas las afirmaciones que hago, no hay casi ninguna de la que esté seguro. Si está dispuesto a leerla como pura especulación, lo apreciaré; si no -estoy seguro de que tiene una papelera a mano». Afortunadamente la carta no acabó en la papelera, sino que fue mecanografiada y acabó circulando por la comunidad matemática.
En esta carta, Langlands define un objeto clave, las \(L\)-series de Artin-Hecke, que generalizan tanto las series \(L\) de Artin (asociadas a representaciones del grupo de Galois de un cuerpo de números) como las series \(L\) de Hecke (asociadas a formas modulares). Las \(L\)-series son funciones de variable compleja, definida mediante una suma infinita
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$$ para una familia de coeficientes complejos \(\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}\). Veamos algunos ejemplos de series \(L\).
La función zeta de Riemann
El primer ejemplo de serie \(L\) es la función zeta de Riemann,
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}.$$
Para cada número complejo \(s\) cuya parte real sea mayor que 1, esta expresión converge absolutamente y define un número complejo. Riemann demostró en 1859 que la función así definida se extiende a una función meromorfa en todo el plano complejo, con un único polo simple en \(s=1\). Gracias al teorema fundamental de la aritmética, que afirma que cada entero positivo se escribe de forma única como producto de números primos (salvo reordenamiento), se puede dar una expresión para la función zeta de Riemann como un producto infinito. Este desarrollo se conoce como producto de Euler: $$\zeta(s)=\prod_{p\text{ primo}} \frac{1}{1-p^{-s}}.$$
Además, \(\zeta(s)\) verifica una ecuación funcional, que es una relación entre \(\zeta(s)\) y \(\zeta(1-s)\).
La relación entre la función zeta de Riemann y los números primos permite demostrar propiedades sobre la distribución de estos últimos: por ejemplo, Hadamard y de la Valleé Poussin demostraron que la función \(\pi(x)\), definida como el número de primos menores o iguales que \(x\), crece como \(x/log(x)\).
Las series de Dirichlet y las representaciones de los grupos \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\)
La función zeta de Riemann puede modificarse, dando lugar a otras series \(L\). Por ejemplo, consideremos un carácter de Dirichlet \(\chi:\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{C}\), es decir, un morfismo de grupos multiplicativos \((\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}\rightarrow \mathbb{C}^{\times}\) que se extiende al conjunto \(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\) como \(\chi(a)=0\) si \(a\) no es primo con \(N\). Se define la serie \(L\) de Dirichlet como
$$L(\chi, s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}.$$
Esta suma, al igual que en el caso anterior, converge absolutamente si la parte real de \(s\) es mayor que \(1\), y puede extenderse a una función meromorfa en todo el plano complejo. Además, admite también una expresión como un producto infinito
$$L(\chi, s)=\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}$$
y una ecuación funcional. Dirichlet (1837) utilizó estas series \(L\) para demostrar que, en toda progresión aritmética \(\{an+ b: n\in \mathbb{N}\}\) hay infinitos números primos, siempre que \(a\) y \(b\) sean primos entre sí.
Otras clases de series \(L\), asociadas a diversos objetos matemáticos, se definieron de forma más o menos simultánea.
Series \(L\) de Hecke
Por una parte, Hecke (1887–1947) definió las series \(L\) asociadas a un tipo de caracteres llamados Grössencharaktere en 1918, y también las series \(L\) asociadas a formas modulares de peso \(1\). Cada forma modular \(f\) de nivel \(N\) y peso \(k\) tiene un desarrollo de Fourier \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n e^{2\pi i nz}\). Podemos utilizar la familia de coeficientes \(\{a_n\}_n\) para definir una serie:
$$L(f, s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},$$ que converge en un semiplano complejo. Esta función se extiende a una función meromorfa en todo el plano complejo (holomorfa si \(f\) es cuspidal), y satisface una ecuación funcional. Cuando \(f\) cumple además la condición de ser una autoforma (o forma propia) para una familia de operadores, definidos por Hecke, esta función puede expresarse también como un producto de Euler infinito
$$L(f, s)=\prod_{p\text{ primo}} \frac{1}{1-a_p p^{-s} + \varepsilon(p)p^{k-1-2s}}$$ para un cierto carácter de Dirichlet \(\varepsilon:\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{C}\) asociado a \(f\).
Series \(L\) de Artin y la teoría de los cuerpos de clase
Independientemente, Artin introdujo en 1923 otro tipo de series \(L\), que están relacionadas con la cuestión que discutíamos al principio sobre la factorización de polinomios módulo distintos números primos, y la teoría de Galois. Si \(P(x)\) es un polinomio con coeficientes racionales de grado \(n\), el teorema fundamental del álgebra nos dice que tiene exactamente \(n\) raíces complejas (contando multiplicidades). Galois (1811–1832), en sus estudios sobre la posibilidad de dar una fórmula para las raíces de \(P(x)\) en terminos de los coeficientes de \(P(x)\) mediante operaciones elementales (suma, multiplicación y división), y extracción de raíces \(k\)-ésimas, introdujo el grupo de Galois del polinomio, que podemos entender de forma intuitiva como el grupo de las simetrías de las raíces del polinomio. Si llamamos \(F\) al subcuerpo de \(\mathbb{C}\) más pequeño que contiene a las raíces, diremos que la extensión de cuerpos \(F/\mathbb{Q}\) es de Galois, y su grupo de Galois se denota como \(\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\). Uno de los grandes avances en las matemáticas de finales del siglo XIX y principios del siglo XX es la teoría de cuerpos de clase. Reemplazando el cuerpo \(\mathbb{Q}\) por otro cuerpo de números \(K\), se puede definir de igual forma el grupo de Galois \(\mathrm{Gal}(F/K)\). La teoría de cuerpos de clase clasifica todas las extensiones de Galois \(F/K\) de un cuerpo de números \(K\), cuyo grupo de Galois \(\mathrm{Gal}(F/K)\) es abeliano, en términos de propiedades aritméticas del cuerpo \(K\) (concretamente, el grupo de los ideles de \(K\)).
El Teorema de Kronecker-Weber, uno de los resultados fundamentales de la teoría, afirma que para cada extensión abeliana \(F/\mathbb{Q}\) existe un entero \(N\) de forma que \(F\) está contenido en \(\mathbb{Q}(\zeta_N)\), la extensión de \(\mathbb{Q}\) que se obtiene al añadir las raíces \(N\)-ésimas de la unidad. Ahora bien, estas extensiones de cuerpos son particularmente simples. Por ejemplo, es fácil estudiar la descomposición módulo \(p\) de los polinomios que las definen (que son los polinomios ciclotómicos) en términos de la clase de \(p\) módulo \(N\). Se puede demostrar que el polinomio ciclotómico correspondiente a la extensión \(\mathbb{Q}(\zeta_N)\) se descompone en factores lineales distintos si y sólo si \(p\equiv 1 \pmod{N}\). Esta es la razón por la cual, en el caso de polinomios de grado \(2\), se puede caracterizar el conjunto de primos \(p\) para los que el polinomio tiene raíces diferentes módulo \(p\) en términos de congruencias módulo un numero natural \(N\); en general, esto será cierto cuando el grupo de Galois de la extensión de cuerpos \(F/\mathbb{Q}\) sea abeliano.
Este teorema puede reformularse en términos de las series \(L\) asociadas a caracteres de Dirichlet: Sea \(F/\mathbb{Q}\) una extensión de Galois abeliana. Para cada morfismo de grupos \(\rho:\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\rightarrow \mathbb{C}^{\times}\) podemos definir una función \(L\) del modo siguiente: A cada primo (excepto salvo para un número finito que depende de la extensión \(F/\mathbb{Q})\), se le puede asociar un elemento \(\mathrm{Fr}_p\in\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\), el elemento de Frobenius (en realidad, una clase de conjugación), y por tanto considerar su imagen a través de \(\rho\), lo cual nos da un número complejo. Podemos utilizar esta información para definir una función \(L\).
$$L(\rho, s)=\prod_{p\text{ primo}}\frac{1}{1- \rho(\mathrm{Fr}_p)p^{-s}}.$$
El Teorema de Kronecker-Weber afirma que existe un carácter de Dirichlet \(\chi:\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{C}\) tal que
$$L(\rho, s)=L(\chi, s).$$
Cuando sustituimos el carácter \(\rho\) por una representación de dimensión \(n\) (es decir, un morfismo de grupos de \(\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\) en el grupo \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) de las matrices invertibles de tamaño \(n\times n\)), se puede definir también una serie \(L\), utilizando el polinomio característico de \(\rho(\mathrm{Fr}_p)\). Una pregunta natural es si existe una generalización del Teorema de Kronecker-Weber. Dada una representación \(\rho\) de dimensión \(n\), ¿existe un objeto \(\chi\) tal que \(L(\rho, s)=L(\chi, s)\)? Esta es una de las preguntas que Langlands aborda en su carta: concretamente, Langlands conjetura que el objeto apropiado que debe sustituir a \(\chi\) es una representación automorfa.
Series \(L\) de Hasse-Weil y el teorema de Fermat
No podemos dejar de mencionar una tercera fuente de series \(L\): las variedades algebraicas, que dan lugar a las series \(L\) de Hasse-Weil. En particular, las series \(L\) asociadas a curvas elípticas juegan un papel interesante en esta historia. Una curva elíptica está definida por una ecuación de la forma \(y^2=x^3 + ax + b\); si denotamos por \(N_p(E)\) el número de puntos de la curva módulo \(p\) (contando el punto del infinito), se puede definir una serie \(L\) asociada a \(E\) como
$$L(E, s)= \prod_p \frac{1}{1- a_p(E) p^{-s} + \chi(p) p^{1-2s}},$$ donde \(a_p(E)= p+1-N_p(E)\) y \(\chi\) es un carácter de Dirichlet asociado a \(E\) (de forma precisa: \(\chi(p)=1\) si \(p\) es primo con el conductor de la curva, y \(0\) en otro caso). La conjetura de Shimura y Taniyama, que aparece en torno a 1955, afirma que si \(E\) es una curva elíptica definida sobre \(\mathbb{Q}\), entonces existe una forma modular \(f\) de peso \(2\) tal que \(L(E, s)=L(f, s)\). Esta conjetura atrajo la atención de Andrew Wiles cuando, gracias al trabajo de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre y Kenneth Ribet, se demostró que una respuesta positiva para las curvas elípticas semiestables implicaría el último Teorema de Fermat. Wiles, junto con Richard Taylor, demostraron este caso en 1995; el caso general se demostró poco después.
Series \(L\) de Langlands
Volvemos ahora a la carta escrita por Langlands al matemático André Weil. En ella, Langlands define la serie \(L(\Pi, \rho, s)\) de Artin-Hecke, que generaliza tanto a las series \(L\) de Artin como a las series \(L\) de Hecke. Estas series \(L\) dependen de dos objetos: una representación automorfa \(\Pi\) de un grupo reductivo \(G\) y una representación del grupo de Galois \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) en el grupo dual \({}^LG\).
Langlands formula dos preguntas en su carta. La primera es si las series \(L\) de Artin-Hecke se extienden a funciones meromorfas en todo el plano complejo, y si verifican una ecuación funcional. La segunda pregunta se refiere al principio de funtorialidad, central en el programa de Langlands. De forma intuitiva, este principio puede formularse del modo siguiente: Hay una serie de operaciones naturales que podemos realizar con representaciones de Galois (restricción de escalares, composición con un morfismo de grupos \({}^LG\rightarrow ^L\hskip-0.15cm G’\), producto tensorial de representaciones, potencia simétrica, etc), y obtenemos otra representación de Galois, en un grupo distinto (en general). El principio de funtorialidad afirma que existen operaciones sobre representaciones automorfas que se corresponden con estas operaciones sobre representaciones de Galois. En particular, debe existir una representación automorfa que se corresponda con la nueva representación de Galois.
De este modo, obtenemos una correspondencia entre las representaciones de Galois \(\rho:G_{K}\rightarrow ^{L}\hskip-0.1cm G\) y las representaciones automorfas del grupo \(G\). En particular, esta correspondencia proporciona una generalización de la teoría de cuerpos de clase: en lugar de los caracteres de Dirichlet, los objetos cuyas series \(L\) se corresponden con las representaciones de Galois complejas de dimensión \(n\) son las representaciones automorfas de dimensión \(n\).
Desarrollo del programa de Langlands
Desde su formulación, numerosos matemáticos se han dedicado a demostrar parcialmente algunas de las conjeturas de Langlands; expertos como Drinfeld, Lafforgue y Ngô han recibido la medalla fields por sus contribuciones al programa de Langlands. En 1980, el propio Langlands demostró un caso importante de funtorialidad, el cambio de base soluble para el grupo \(\mathrm{GL}(2)\) de matrices \(2\times 2\). Utilizando este resultado, Tunnells demuestra que, dada una representación de Galois \(\rho:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\) irreducible e impar, cuya imagen es un grupo soluble, entonces existe una forma modular \(f\) tal que \(L(f, s)=L(\rho, s)\). A su vez, este resultado es crucial en la demostración de Wiles de la conjetura de Shimura y Taniyama, ya que se utiliza como caso base, a partir del cual se propaga la propiedad de ser modular.
Sin embargo, a pesar de los espectaculares avances, aún estamos muy lejos de tener una demostración de la red de conexiones establecida en el programa visionario de Langlands.
Para saber más
Enlace a la carta de Langlands a Weil
La base de datos de funciones \(L\), formas modulares y objetos relacionados es un proyecto abierto donde se recopilan datos y cálculos referentes a distintos objetos matemáticos y sus series \(L\).
Una excelente introducción al programa de Langlands: Gelbart, Stephen.
An elementary introduction to the Langlands program. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 10 (1984), no. 2, 177–219.
Un survey sobre la conexión entre las representaciones de Galois y distintos objetos matemáticos, incluyendo las formas modulares, representaciones automorfas y variedades de Shimura: Weinstein, J., Reciprocity laws and Galois representations: recent breakthroughs. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 53 (2016), no. 1, 1–3.
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