Publicamos la solución al divertimento Diferencias de Números. En esta ocasión, Alberto Castaño y Cristóbal Sánchez-Rubio nos han hecho llegar soluciones acertadas.
El lector interesado puede observar la relación del problema propuesto con la operación de Kaprekar, denominada así en honor al matemático indio Dattatreya Ramachandra Kaprekar.
Divertimento:
Se considera un número de dos, tres o cuatro cifras, no todas iguales. Se reordenan las cifras en orden decreciente (de forma que se obtiene el mayor número posible con los dígitos del número original) y luego en orden creciente (que es el menor número posible) y se restan ambos números con la intención de repetir este proceso con la diferencia. Pero si esta diferencia es otra permutación de los dígitos del número original, la nueva diferencia será la misma que la ya realizada y así sucesivamente. Se pregunta qué números de dos, tres o cuatro cifras hay que tengan esta propiedad.
Solución:
Solución enviada por Alberto Castaño.
Los únicos números que cumplen las condiciones del enunciado son el 954 y el 7641 (salvo permutación de sus cifras, es decir, que hay otros veintiocho). Vamos a verlo:
Tratemos primero el caso de dos cifras, esto es, \(n=10a+b\). Escrito en el orden opuesto tenemos \(n’=10b+a\), así que \(n-n’=9(a-b)\). Está claro que las cifras deben ser distintas, porque entonces la diferencia es cero. Escribamos \(i:=a-b\). Así \(n-n’=10(i-1)+(10-i)\). Como las nuevas (y antiguas) cifras, \(i-1\) y \(10-i\), suman nueve, podemos suponer sin pérdida de generalidad que \(a=10-i\) y \(b=i-1\) y \(n-n’=10(10-2i)+(2i-1)\), y no es posible que \(10-i\) sea ni \(10-2i\) ni \(2i-1\).
Vamos ahora con los de tres cifras. Llamándolas \(a, b, c\), tenemos que \(n-n’=99(a-c)\), y como nuevamente \(a\) y \(c\) deben ser distintas (porque entonces todas, \(b\) incluida, serían iguales y la diferencia se anularía), \(n-n’\) es uno de los \(9\) múltiplos de \(99\) en \(\{99,198,\ldots,792,891\}\). Todos ellos tienen un nueve como segunda cifra, por lo que \(a=9\), y la suma de las otras dos es siempre nueve. Por otro lado, como c es la menor, no puede ser mayor que 4. Con estos datos, \(n-n’=100(8-c)+90+(c+1)\), y como \(c\neq c+1\), necesariamente \(c=8-c\), con lo que \(c=4\) y \(b=5\). Es decir, obtenemos \(954\) y sus otras cinco permutaciones
El último caso es que tengamos cuatro cifras, \(a, b, c, d\). Ahora el cálculo se vuelve un poco más interesante, porque \(n-n’=999(a-d)+90(b-c)\). Igual que antes, \(a\neq d\), y además \(b\) tampoco puede ser igual que \(c\). Si así lo fuera, como todos los múltiplos menores de \(10^4\) de \(999\) tienen dos nueves entre sus cifras, \(a=b=9\). La única opción que tendríamos sería \(n=9990\), que no funciona. Por tanto, estamos tratando con números con sus cuatro cifras distintas. Escribamos \(i=a-b\) y \(j=b-c\), que por lo anterior son números entre 1 y 9. Así, \(n-n’=10^3i+10^2(j-1)+10(9-j)+(10-i)\). Así, dos de las cifras de \(n\) suman ocho y las otras suman diez. Uniendo todas esas condiciones obtenemos las siguientes posibilidades para \(n\): $$\{5544,6543,6642,7641,7533,7632,7731,8532,8622,8721,9531,9621,9711\}.$$ De ellas, solo podemos obtener 7641 y sus otras veintitrés permutaciones.
Además, Alberto Castaño nos ha sugerido extender el problema a otras bases. Si denotamos por \(b\) a la base:
En el caso de dos cifras, si \(b+1\) es múltiplo de tres, las únicas soluciones son las dos permutaciones de las cifras de \(b((2b-1)/3)+(b-2)/3\).
En el caso de tres cifras, si \(b\) es par, las únicas soluciones son las seis permutaciones de las cifras de \(b^2(b-1)+b(b/2)+(b/2-1)\).
Dejar una contestacion