Solución: Los hijos del granjero

Publicamos la solución al Divertimento Los hijos del granjero. Gracias a Jorge Catarecha Otero Saavedra y a José Antonio Servián, que han propuesto soluciones al problema.

Divertimento:

Dos amigos lógicos se encuentran. Uno de ellos propone al segundo el siguiente problema:

– Un granjero dejó en herencia a sus tres hijos un campo rectangular de dimensiones 6 y 7 kilómetros. Los tres hermanos dividieron el terreno en tres rectángulos, cada uno de ellos con una cantidad entera de kilómetros por lado, de modo que el área de cada parte sea igual a la edad de cada uno. Sabiendo que cada uno tiene edades distintas aunque nacieron el mismo día del año, ¿cuáles son las edades de los hijos?

– No puedo saberlo. Me faltan datos.

– Es cierto. Todos nacieron el mismo día que tú.

– Bien, ahora ya sé la respuesta.

¿Puedes resolver el problema que se plantea?

Solución:

Solución propuesta por Jorge Catarecha Otero Saavedra.

Sean \(x, y, z\) las edades en años del menor, mediano y mayor hermano respectivamente. Únicamente con el enunciado del problema se presentan varias soluciones, por eso cuando el amigo le responde que faltan datos, el primero le dice también el día en que nacieron. El único día del año que puede afectar a nuestro problema es el 29 de febrero, que veremos que nos permite dar una única solución al divertimento.

Las tres edades se diferencian entre sí en múltiplos de 4 (tiempo en el que se suceden dos años bisiestos). Luego tenemos las siguientes congruencias: $$ x \equiv y \equiv z \equiv \alpha (mod 4)$$ Como dividen una parcela de área total 42 km 2 y las subparcelas son las edades de los hermanos:  $$x + y + z = 42$$ De las ecuaciones anteriores reduciendo al anillo de las congruencias en módulo cuatro nos queda: $$3 \alpha \equiv 2 (mod 4)$$ De donde el único valor posible de \(\alpha\) es 2. Por tanto, las edades disponibles son: {2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42}. La única forma de construir rectángulos de área 22, 26, 34 y 38, con lados enteros, es con dimensiones, respectivamente, de 2×11, 2×13, 2×17 y 2×19. Rectángulos que no caben en la parcela, con lo que nos quedan las siguientes edades posibles: {2, 6, 10, 14, 18, 30, 42} Con las que las únicas formas de sumar 42 años son las soluciones (10,14,18) y (2,10,30); donde es fácil observar que con la primera no se puede realizar una partición de la parcela en subparcelas de dichas áreas. Por lo tanto, la única solución es que el hermano menor tenga 2 años, el mediano 10 años y el mayor 30 años, siendo la siguiente una partición valida.

Sin el dato del día de nacimiento, por ejemplo, la terna (6,12,24) también podría haber sido solución. Siendo este, por tanto, necesario.