Solución: Jugando con números

Publicamos la solución al Divertimento Jugando con Números. Gracias a Alberto Castaño por la solución que ha enviado.

Divertimento:

Se toma un número de cuatro cifras que no sea capicúa, se invierte el orden de sus dígitos y se resta el mayor del menor. El número resultante puede tener cuatro cifras o menos.
1) Para la primera parte del divertimento supongamos que tiene cuatro. Ahora sumamos este número con el que resulta de cambiar de orden sus dígitos. ¿Qué resultados se pueden obtener?
2) Para la segunda parte del divertimento, supongamos que la diferencia tiene menos de cuatro cifras y repetimos la operación indicada anteriormente. ¿Qué resultados se pueden obtener?

Solución:

Solución propuesta por Alberto Castaño.

Los números que podemos obtener en el primer caso son 9999, 10890 y 10989. En el segundo son
más, concretamente 1998 y los de la forma \(99+81k\), donde \(k=0,2,\ldots,9\) (con \(k \neq 1\)), es decir, 99, 261,342,…,828.

En general, cualquier número \(n\) de cuatro cifras se puede expresar como \(n=1000a+100b+10c+d\), donde \(a, b, c, d\) son cifras entre 0 y 9, aunque además a se supone no nulo. Al restarle el número \(n*\) resultante de invertir el orden de las cifras, tenemos \(m:=999(a-d)+90(b-c)\). Como estamos restando el menor del mayor y \(n\) no es capicúa, o bien \(a>d\) o bien \(a=d\) y \(b>c\). Los casos en los que \(m\) tiene cuatro o menos cifras se corresponden, respectivamente, con que \(a>d+1\) o \(a=d+1\) y \(b>c\), y \(a=d+1\) y \(b=c\) o \(a=d\) y \(b>c\).

Vamos con el primer caso. Vamos a escribir \(i:=a-d\) y \(j:=b-c\) (i variará entonces entre 1 y 9 y j entre -9 y 9), de modo que $$ m=1000i+100j-10j-i.$$ Si \(j>0\), podemos escribir \(m\) en base 10 como $$ 1000i+100(j-1)+10(9-j)+(10-i),$$ y ya tenemos escrito \(m\) en base 10. Por tanto, $$ m*=1000(10-i)+100(9-j)+10(j-1)+i$$ y $$m+m*=1000 \cdot 10+100 \cdot 8+10 \cdot 8+10=10890.$$

Si \(j=0\) (y por tanto \(i>1\)), \(m\) se puede expresar como $$ 1000(i-1)+900+90+(10-i),$$ así que $$ m+m*=1000 \cdot 9+100 \cdot 18+10 \cdot 18+9=10989.$$

Por último, si \(j<0\) (y entonces nuevamente \(i>1\)), $$ m=1000(i-1)+100(10+j)+10(-j-1)+(10-i)$$, así que $$m+m*=1000 \cdot 9+100 \cdot 9+10 \cdot 9+9=9999.$$

Supongamos ahora que \(m=999(a-d)+90(b-c)\) tiene tres o menos cifras. Como \(n\) no es capicúa, al menos tendrá dos. Consideremos primero el caso en el que tenga tres. Tenemos dos opciones: o \(a=d+1\) y \(b=c\) o \(a=d\) y \(b>c+1\). Al igual que antes, llamemos \(i=a-d\) y \(j=b-c\). La primera de las condiciones es muy sencilla de tratar, porque entonces \(m=999=m*\) y así \(m+m*=1998\).

Por consiguiente, nos podemos restringir al caso en el que \(i=0\) y \(j>1\). Podemos escribir \(m=100j-10j\) en base 10 como $$ 100(j-1)+10(10-j)+0,$$ así que $$ m+m*=100(j-1)+10(20-2j)+(j-1)=99+81j,$$ con \(j=2,\ldots,9\), es decir, \(m+m*=261,…828\).

El último caso a considerar es que \(m\) tenga dos cifras, que sólo puede ocurrir cuando \(a=d\) y \(b=c+1\), es decir, \(m=90\), y por tanto, \(m+m*=99\).