Solución: Divisibilidad entre 7

Publicamos la solución al divertimento Divisibilidad entre 7. Gracias a Rubén Alba, Juan Simón S., Miguel Ángel Gutiérrez Naranjo y Alberto Castaño por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

En un viejo libro de Matemáticas encontramos el siguiente criterio de divisibilidad por 7:

“Para saber si un número es múltiplo de 7 se toma el número prescindiendo de las cifras de las unidades y se le resta el doble de dicha cifra. Se repite el proceso hasta llegar a un número de dos cifras. Si dicho número es múltiplo de 7, el original también lo es y solo en este caso”

Por ejemplo, para saber si 4151 es múltiplo de 7, se calcula $$415-2 \cdot 1=413, \quad 41-2 \cdot 3=35,$$ y ya que 35 el múltiplo de 7, también lo es 4151. Y para comprobar si 8437 lo es, se calcula $$843-2 \cdot 7 = 829, \quad 82 – 2 \cdot 9 = 64,$$ que no es múltiplo de 7, por lo que 8437 tampoco lo es.

¿Puedes justificar el criterio para un número de 4 dígitos?

Solución:

Solución propuesta por Alberto Castaño.

El procedimiento nos dice que un número \(10a+b\) es múltiplo de 7 si y solo si \(a-2b\) también lo es. Y la razón es muy simple: \(2(10a+b)+(a-2b)=21a\), que siempre es múltiplo de 7, así que como 2 es primo con 7, si uno de los números es divisible por 7, el otro también.

Esto funciona para otros divisores primos, buscando un múltiplo suyo que acabe en uno. Por ejemplo, si estudiamos la divisibilidad por 13, podemos usar que \(13 \cdot 7=91\) para argumentar por la misma razón, que \(10a+b\) es múltiplo de 13 (o de 7) si y solo si \(a-9b\) lo es. Y si empezamos con números grandes, podemos hacer saltos mayores en la cantidad de dígitos. Por ejemplo, como \(1001=7 \cdot 11 \cdot 13\), un número \(1000a+b\) es múltiplo de 7, o de 11, o de 13, si y solo si \(a-b\) lo es.

Además, Juan Simón S. nos indica otros criteros similares:

1) “Para saber si un número es múltiplo de 13 se toma el número prescindiendo de las cifras de las unidades y se le suma el cuádruplo de dicha cifra. Se repite el proceso hasta llegar a un número de dos cifras. Si dicho número es múltiplo de 13, el original también lo es y solo en este caso» (x+4y)

2) “Para saber si un número es múltiplo de 19 se toma el número prescindiendo de las cifras de las unidades y se le suma el doble de dicha cifra. Se repite el proceso hasta llegar a un número de dos cifras. Si dicho número es múltiplo de 19, el original también lo es y solo en este caso” (x+2y)

3) “Para saber si un número es múltiplo de 17 se toma el número prescindiendo de las cifras de las unidades y se le resta el quíntuplo de dicha cifra. Se repite el proceso hasta llegar a un número de dos cifras. Si dicho número es múltiplo de 17, el original también lo es y solo en este caso” (x-5y).