Solución: Pastillas monodosis

Publicamos la solución al divertimento de las pastillas monodosis. Gracias a Antonio Navas, Magdalena Jáñez y Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

Un bote contiene 50 pastillas monodosis de un medicamento y 50 pastillas con dosis doble. Cuando llega un paciente, saca al azar una pastilla; si es monodosis, se la toma, y si no, la divide con un cortapastillas, se toma la mitad y devuelve la otra mitad como una nueva pastilla monodosis al bote. Cuando han pasado cinco pacientes,

1. ¿Qué posibles composiciones de pastillas de dosis individual o doble puede tener el bote?
2. ¿Qué probabilidad hay de que el bote tenga 47 pastillas de dosis individual?

Solución:

Cuando se saca una pastilla monodosis, el número de pastillas dobles se mantiene y el de pastillas monodosis disminuye en una; cuando se saca una pastilla de dosis doble, el número de estas pastillas disminuye en una y el de pastillas monodosis aumenta en una. Así, si de los cinco pacientes hay \(x\) que cogen pastillas dobles y \(5-x\) que las escogen monodosis, el número de pastillas dobles será \(D=50-x\), mientras que el de monodosis será \(M=50+x-(5-x)=45+2x\).

Como \(x\) puede tomar los valores \(0, 1,\ldots,5\), las composiciones posibles \((D,M)\) serán

$$ (50,45),\;\;(49,47), \;\; (48,49), \;\; (47,51), \;\; (46,53), \;\; (45,55).$$

Para que \(M=47\), debe ocurrir que \(x=1\), es decir, de los cinco pacientes solo uno debe sacar una pastilla doble. Así las posibilidades que hay son

$$ DMMMM, \;\; MDMMM, \;\; MMDMM, \;\; MMMDM, \;\; MMMMD.$$

Las probabilidades de cada uno de estos sucesos son:

$$ P(DMMMM)=\frac{50}{100}\frac{51}{100}\frac{50}{99}\frac{49}{98}\frac{48}{97}\simeq 0,\!031865$$

$$ P(MDMMM)=\frac{50}{100}\frac{50}{99}\frac{50}{99}\frac{49}{98}\frac{48}{97}\simeq 0,\!031556$$

$$ P(MMDMM)=\frac{50}{100}\frac{49}{99}\frac{50}{98}\frac{49}{98}\frac{48}{97}\simeq 0,\!031240$$

$$ P(MMMDM)=\frac{50}{100}\frac{49}{99}\frac{48}{98}\frac{50}{97}\frac{48}{97}\simeq 0,\!030918$$

$$ P(MMMMD)=\frac{50}{100}\frac{49}{99}\frac{48}{98}\frac{47}{97}\frac{50}{96}\simeq 0,\!030589$$

En conclusión, la probabilidad de que haya 47 pastillas de dosis individual (y necesariamente 49 pastillas de dosis doble) es aproximadamente \(0,\!15617\).