Solución: Divisores

Publicamos la solución al divertimento de los divisores. Gracias a Antonio Navas por la solución que nos ha enviado.

Divertimento:

La descomposición de un número entero en producto de factores enteros puede plantear algunas preguntas que nos sirven para este divertimento. Hoy preguntamos por el número total de factores enteros positivos que tiene un número entero, incluyendo, por fijar ideas, el \(1\) y el propio número como factores suyos.

1. ¿Cuál es el menor entero positivo menor que \(1000\) que tiene más factores? ¿Cuántos tiene? ¿Cuánto suman estos factores?
2. ¿Cuál es el menor múltiplo de \(2019\) que tiene \(15\) divisores?
3. ¿Cuál es el menor múltiplo de \(2019\) que tiene \(20\) divisores?

(Nota: Buscamos respuestas que no incluyan búsquedas exhaustivas por ordenador.)

Solución:

Si la descomposición de un entero \(N\) en factores primos es

$$ N=p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{\alpha_r}, $$

el número total de factores de \(N\), incluidos \(1\) y el propio \(N\), es

$$ (\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_r+1). $$

Por otro lado, podemos considerar el producto

$$ (1+p_1+\ldots+p_1^{\alpha_1})\cdot\ldots\cdot(1+p_r+\ldots+p_r^{\alpha_r}). $$

Cada sumando de la expresión que hemos escrito es un divisor de \(N\), distinto del resto. Por tanto, es fácil deducir que la suma de los divisores de \(N\) es

$$ \frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\ldots\cdot\frac{p_r^{\alpha_r+1}-1}{p_r-1}. $$

Con esta información podemos responder ya a las tres preguntas del enunciado.

Dado que debemos encontrar el menor entero positivo menor que \(1000\) con más factores, la intuición nos dicta que debemos asignar los exponentes mayores a los primos menores. En efecto, para cualesquiera dos primos \(p>q\) y dos exponentes \(\alpha\leq\beta\) tenemos que \(p^\alpha q^\beta\leq(p/q)^{\beta-\alpha} p^\alpha q^\beta=p^\beta q^\alpha\). Por consiguiente, dado que \(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11>1000\), asignaremos exponentes \(\alpha_1\geq\ldots\geq\alpha_4\) a \(2\), \(3\), \(5\) y \(7\), respectivamente, de modo que \((\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_4+1)\) sea máximo.

Después de una búsqueda exhaustiva teniendo en cuenta lo anterior y que nuestros candidatos deben ser menores que 1000, la mejor posibilidad es la tupla de exponentes \((3,1,1,1)\), que corresponde a

$$ 2^3\cdot3\cdot5\cdot7=840, $$

con \(4\cdot2\cdot2\cdot2=32\) divisores.

Vayamos ahora a los múltiplos de \(2019\), que se descompone como \(2019=3\cdot 673\). Por la discusión anterior sabemos que debemos buscar un número \(p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{\alpha_r}\) de modo que \(r\geq2\), \(p_1=3\), \(p_2=673\) y

$$ (\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_r+1)=15. $$

La única solución, si buscamos el menor posible, es que \(r=2\), \(\alpha_1=4\) y \(\alpha_2=2\), esto es,

$$ 3^4\cdot 673^2=36687249. $$

(Nota: dada la ambigüedad del enunciado, podríamos buscar el menor número con al menos 15 divisores. En ese caso, por la discusión del primer apartado podemos afirmar que la solución sería

$$ 2^3\cdot3\cdot673=16152, $$

con \(4\cdot2\cdot2=16\) divisores.)

En el último apartado no cabe dicha ambigüedad, porque aunque \(3^9\cdot673=13246659\) cumple con las condiciones exigidas, podemos añadir un factor primo más y considerar

$$ 2^4\cdot3\cdot 673=32304, $$

que es la solución buscada.