Los griegos plantearon muchos problemas. Uno de los más conocidos es el de la cuadratura del círculo. Dado un círculo construir un cuadrado del mismo área. Para los griegos construir quería decir dar un algoritmo gráfico. Las operaciones básicas incluían el uso de la regla y el compás. El problema se menciona por Aristófanes en el año \(414\) antes de Cristo; podemos imaginarnos que en aquel momento se buscaba una solución, si hubieran soñado que la construcción podría no existir habrían considerado el problema intratable. ¿Cómo puede uno probar que haga lo que haga no llegará nunca a construir el cuadrado?
No fue hasta 1761 que Lambert demostró que \(\pi\) era irracional, y conjeturaba que sería trascendente, esto es, que no satisface ninguna ecuación de la forma \(P(x)=0\), siendo \(P\) un polinomio de coeficientes enteros. En 1837 Wantzel demuestra que si fuera constructible sería algebraico, habría un polinomio con coeficientes enteros y tal que \(P(\pi)=0\). Estos conceptos abrieron el camino de la prueba de la imposibilidad de la construcción. En relativamente poco tiempo, en 1882, Lindemann consiguió probar que \(\pi\) era un número trascendente y por tanto que el problema de la construcción con regla y compás era imposible.
Esta historia nos ilustra que aunque un problema parezca intratable, la Matemática va creando conceptos nuevos, herramientas, con las que más adelante la solución puede encontrarse. La historia de la Matemática enseña que esto no ha sucedido una, sino mil veces, con caminos a veces mucho más complicados y enrevesados.Todo esto viene a cuento de que hoy vamos a considerar un problema que en cierto modo parece intratable y está muy asociado al problema de la cuadratura, o mejor, al de la naturaleza del número \(\pi\).
El problema es reciente pero, como todo, tiene antecedentes. En este caso fue Euler el primero que vislumbró el problema. Las obras de Euler son hoy accesibles en The Euler Archive. Podemos encontrar allí los originales, generalmente en latín, junto con muchas traducciones al inglés. El trabajo en que Euler trata de nuestro problema es el E565, no encontramos la traducción en The Euler Archive, pero existe una traducción en arXiv. (arXiv contiene otras muchas, actualmente 67 trabajos de Euler están traducidos en arXiv).
En este trabajo Euler considera que hay funciones trascendentes que entran fácilmente en el análisis gracias a las expresiones integrales, por ejemplo $$\log x=\int_1^x\frac{dt}{t},\qquad \arctan x=\int_0^x\frac{dt}{1+x^2}$$ Incluso cuando queremos obtener la longitud de las secciones cónicas llegamos a las integrales elípticas $$\int R(x,\sqrt{(a+bx^2)(c+dx^2)})\,dx$$ Frente a estas cantidades aparecen otras, generalmente suma de series que se resisten a ser representadas por integrales, y pone como ejemplo la serie $$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{15}+\frac{1}{31}+\frac{1}{63}+\cdots= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n-1}.$$
Definición de los periodos
El número \(\pi\) y las integrales que consideraba Euler para la longitud de las cónicas aparecen como periodos de las funciones circulares y elípticas. La idea de periodos se extienden a otras variedades algebraicas. El concepto de periodos fue considerado por Grothendieck. El punto de vista de Grothendieck en su teoría de motivos es definir una categoría para construir una teoría de Galois. Los periodos deberían de tener unos conjugados en los que actuara el grupo. Grothendieck conjeturaba que cualquier relación polinómica entre periodos tendría un origen motívico. Todo esto me llevaría a un terreno que no conozco suficientemente. Solo explico esto para hacer ver que la definición más simple que daremos tiene detrás nociones muy profundas. Fueron Zagier y Kontsevich en 2001 quienes dieron una definición simple, popularizando el tema.
Definición. Un periodo es un número complejo cuyas partes real e imaginaria son valores de integrales absolutamente convergentes de funciones racionales con coeficientes racionales sobre dominios definidos mediante desigualdades polinomiales con coeficientes racionales.
Por ejemplo \(\pi\), \(\log2\) y \(\pi/(2\sqrt{2})\) son periodos $$\pi=\int_{x^2+y^2\le 1}\,dx\,dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}, \quad \log 2=\int_1^2\frac{dx}{x},\quad \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^4}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$ Pero parece que el número \(e\) no lo es. Al menos nadie ha conseguido escribir una integral (algebraica) que tome ese valor.
Puede probarse que en la definición podemos cambiar «función racional» y «coeficientes racionales» por «función algebraica» y «coeficientes algebraicos». Esto no cambia la amplitud de la definición.
Los periodos forman un anillo, por ejemplo si $$\omega_1=\int_{A}f(x)\,dx_1\,\cdots\,dx_n,\qquad \omega_2=\int_{B}g(y)\,dy_1\,\cdots\,dy_m,$$ entonces, por el teorema de Fubini, $$\omega_1\omega_2=\int_{A\times B}f(x)g(y)\,dx_1\,\cdots\,dx_n\,dy_1\,\cdots\,dy_m.$$
Me interesé en las Matemáticas cuando tenía 10–11 años, sobre todo por la influencia de mi hermano. Varios libros de nivel popular fueron inspiradores. También mi hermano estaba suscrito a la famosa revista mensual `Kwant’ que contenía hermosos artículos de matemáticas y físicas dirigidos a niños en el Instituto, a veces incluso explicando resultados recientes o proponiendo problemas no resueltos. También tomé parte en las Olimpiadas a varios niveles con mucho éxito.
(Kontsevich)
En la Unión Soviética, algunos institutos tenían clases especiales para alumnos dotados, dedicando cuatro horas por semana a educación extracurricular (usualmente en matemáticas o físicas) enseñadas por estudiantes universitarios que habían pasado por el mismo sistema ellos mismos. A la edad de 13–15 años yo asistía a tales clases en Moscú …
El ambiente es importante. Hasta ahora España nunca ha tenido un ambiente como este. Aunque, de la mano de proyectos como Estalmat, algo está cambiando…
Un poco más sobre los periodos
Los periodos forman un anillo \(\mathcal P\). Todos los números algebraicos son periodos, son unidades en \(\mathcal P\). No parece que \(\mathcal P\) sea un cuerpo. Por ejemplo se piensa que \(\frac1\pi\) no es un periodo. De manera que podríamos hablar de divisibilidad. Los valores de \(\zeta(s)\) en los números naturales son periodos. En particular \(\zeta(2n)=(-1)^{n+1}\frac{(2\pi)^{2n}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}\) son periodos divisibles por \(\pi^{2n}\). En cambio los números \(\zeta(2n+1)\) no sabemos si son múltiplos de \(\pi^{2n+1}\), esto es, no sabemos si \(\pi^{-2n-1}\zeta(2n+1)\) es un periodo.
Se especula que podemos definir conjugados entre los periodos, que serían permutados por un grupo de Galois de los periodos. Quizás algún día podamos aclarar la relación de los números \(\zeta(2n+1)\) entre sí mediante este grupo.
Son periodos los logaritmos de todos los números algebraicos. También los valores de las funciones \(L\) en los enteros. Muchos de los números interesantes lo son. Más información sobre esta cuestión puede verse en el trabajo original de Kontsevich y Zagier que citamos al final.
Demostrar que un número concreto no es un periodo es difícil en el estado actual. Pero suponemos que no lo son \(e\), \(\frac{1}{\pi}\) o \(\gamma\) la constante de Euler. Demostrar que cualquiera de ellos no es un periodo supondría un gran avance en la comprensión de los periodos. Kontsevich y Zagier plantean la cuestión de construir un número que no sea un periodo. Es claro que existen ya que el conjunto de los periodos es numerable. Esta cuestión ha sido resuelta por Yoshinaga mediante un procedimiento diagonal y usando técnicas de computabilidad.
Otra cuestión interesante es si podemos dar un algoritmo que dados dos periodos demuestre que son iguales o distintos, según el caso. Todas estas preguntas nos parecen ahora tan difíciles como en su tiempo les debió parecer a los griegos el problema de la cuadratura del círculo.
La conjetura principal sobre los periodos
La representación de un periodo mediante una integral \(\int_A f(x)\,dx\) no es única. (Recordemos que suponemos \(A\subset \mathbf{R}^n\) un conjunto definido mediante desigualdades entre polinomios con coeficientes algebraicos y las conectivas lógicas y \(f(x)\) una función racional con coeficientes algebraicos).
La conjetura la presentan Kontsevich y Zagier de la forma más inocente: Una creencia ampliamente difundida, basada en una juiciosa combinación de experiencia, analogía y wishful thinking. He dejado sin traducir la expresión wishful thinking, en el enlace podéis ver qué significa: convencerse de que el mundo es como uno quiere que sea y que las cosas saldrán como uno desea que salgan. Se trata de la siguiente conjetura:
Conjetura. Si un periodo tiene dos representaciones podemos pasar de uno a otro mediante las siguientes cuatro operaciones básicas: linealidad del integrando, linealidad del dominio de integración, cambios de variable algebraicos y teorema de Stokes con cadenas y formas algebraicas.
Estas reglas son:
- \(\int_A(f(x)+g(x))\,dx=\int_A f(x)\,dx+\int_A g(x)\,dx\).
- \(\int_{A\cup B}f(x)\,dx=\int_Af(x)\,dx+\int_B f(x)\,dx\) si \(A\cap B\) es de medida nula.
- \(\int_{\varphi(A)}f(x)\,dx=\int_A f(\varphi(x))\cdot|\det \varphi'(x)|\,dx\) siendo \(\varphi\) una función algebraica inyectiva de \(A\) en \(\varphi(A)\).
- \(\int_{\partial C}\omega=\int_C d\omega\). Siendo la forma \(\omega\) y la cadena \(C\) algebraicas.
En otras palabras, no esperamos ninguna coincidencia milagrosa de dos integrales de funciones algebraicas, que no sea posible probar haciendo uso de las cuatro reglas anteriores. Esta conjetura que es similar a la conjetura de Hodge, es una de las conjeturas centrales sobre independencia algebraica y números trascendentes y está relacionada con muchos de los resultados e ideas de la moderna geometría algebraica aritmética y la teoría de los motivos.
(Kontsevich y Zagier)
Recordemos que la conjetura de Hodge es uno de los problemas del milenio y esta conjetura además es muy cercana a la conjetura de Grothendieck. No obstante, mi primera impresión como analista, es que la conjetura me sorprende mucho. Aunque tengo que decir que lo que he leído después y el conocer la talla de los matemáticos que lo proponen me merece mucho respeto. Sin embargo creo que mis dudas ayudarán a entender el alcance de la conjetura. Así que me expondré a parecer ingenuo exponiendo mis dudas.
Mis razones para dudar de la conjetura
Se trata de una historia personal relativamente reciente. Siempre me han gustado las integrales definidas. He consultado muchas veces las clásicas tablas de Gradshteyn y Ryzhik (GR en lo que sigue). Por esto me intrigó bastante un artículo de Moll publicado en el Notices de la AMS en el año 2010. Moll cuenta la historia de cómo él y su alumno Boros se detuvieron en una entrada de las tablas GR $$I:=\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}\sqrt{\varphi(x)+\varphi(x)^{1/2}}}=\frac{\pi}{2\sqrt{6}}$$ donde $$\varphi(x)=1+\frac{4x^2}{3(1+x^2)^2}.$$ Después de inútiles intentos, demostraron que la fórmula era incorrecta por el simple medio de calcular ambos miembros con 6 cifras decimales exactas. Esto plantea dos problemas: ¿cuánto vale realmente la integral? ¿podemos modificar ligeramente el integrando para conseguir una integral que valga \(\frac{\pi}{2\sqrt{6}}\)?
En los últimos días de diciembre de 2017, conseguí expresar la integral de Moll mediante dos integrales elípticas. En la forma \(I=\alpha I_1+\beta I_2\) donde, siendo \(\Delta(x)=\sqrt{(1-x^2)(1-\frac13x^2)}\) y \(k=2-\sqrt{3}\) tenemos $$\alpha=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}},\quad \beta=-\frac{1}{\sqrt{2}},$$ y $$I_1=\int_0^1\frac{dx}{(1-kx^2)\Delta(x)},\quad I_2=\int_0^{\sqrt{k}}\frac{dx}{\Delta(x)}.$$ Observar que \(\alpha\), \(\beta\), \(I\), \(I_1\) e \(I_2\) son todos periodos. Según la conjetura de Kontsevich-Zagier deberían existir transformaciones algebraicas que demuestren la relación \(I=\alpha I_1+\beta I_2\). Mi demostración publicada en Ramanujan Journal ocupa unas 20 páginas, de las cuales desde la 9 hasta la 20 son transformaciones algebraicas. Pero los primeras pasos que prueban $$I=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+\frac{16}{3}x^2(1-x)^2+\sqrt{1+\frac{16}{3}x^2(1-x)^2}}}.$$ son de una naturaleza muy analítica. Desarrollando en serie el integrando e integrando término a término se llega a ver $$I=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{2^{2n}}\Bigl({2n\atop n}\Bigr)\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2}+k)}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}2^{2k}\frac{2^{2k}}{3^k}\frac{(2k)!(2k)!}{(4k+1)!}.$$ Esta serie no es absolutamente convergente, de manera que el orden de las sumas es importante. A continuación usando la expresión de la función \(\Gamma\) llegamos a $$I=\int_0^\infty\Bigl(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{2n}}\Bigl({2n\atop n}\Bigr)\frac{t^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}\Bigr)\Bigl(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}2^{2k}\frac{(2k)!(2k)!}{(4k+1)!}\frac{4^kt^k}{3^k}\Bigr)e^{-t}\,dt,$$ cuyo integrando no es algebraico. A continuación expresamos cada factor como una integral, para obtener una integral triple. $$I= \frac{1}{2\pi i}\int_0^\infty\int_H\int_0^1\frac{e^{tz}}{\sqrt{z+\sqrt{z}}} e^{-\frac{16}{3}u^2(1-u)^2t}e^{-t}\,du\,dz\,dt.$$ La integral en \(z\) a lo largo de un contorno \(H\) de tipo Hankel. El teorema de Cauchy de variable compleja y el teorema de Fubini (ambos permitidos por las reglas de Kontsevich-Zagier, pero aquí con integrandos no algebraicos) nos conduce a la integral que dijimos.
¿Todas estas transformaciones deberían ser sustituidas por otras que solo manejaran funciones algebraicas!
¿Por qué me sorprende la conjetura? Estoy acostumbrado a calcular integrales definidas y las cuatro reglas de Kontsevich y Zagier me parece que olvidan otras muy importantes, en particular los desarrollos en serie. Y la restricción de no usar más que funciones algebraicas me parece demasiado exigente.
No debo dejar la historia de nuestra integral aquí. Al poco tiempo de calcular la integral como suma de dos integrales elípticas, Peter Blaschke hizo notar que $$I_0:=\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}\sqrt{\varphi(x)+\varphi(x)^{3/2}}}=\frac{\pi}{2\sqrt{6}}.$$ Era esta la integral que debió figurar en las tablas GR. Todos hemos visto esos libros antiguos mal impresos en donde un exponente \(3/2\) no se distingue adecuadamente de \(1/2\).
Los trabajos de Ayoub
Los resultados mas importantes en la dirección de la conjetura principal de Kontsevich-Zagier se encuentran en un artículo de Joseph Ayoub. En primer lugar Ayoub escribe la conjetura de Kontsevich-Zagier en una forma sorprendente, que paso a describir.
Sea \(\mathcal O\) el álgebra de las funciones \(f(z_1,\dots, z_n)\) analíticas en \(\mathbb{D}^n=\{(z_1,\dots, z_n)\colon |z_j|\le 1\}\). Aquí \(n=0\), \(1\), \(2\), … es arbitrario. Naturalmente una función de \(0\) variables es una constante y siempre podemos considerar una función \(f(z_1,\dots, z_n)\) como una función de \(m\) variables (con \(m>n\)) que simplemente no depende de las últimas variables.
Ahora sea \(\mathcal O_\text{alg}\) el subálgebra formada por las funciones de \(\mathcal O\) que son algebraicas, es decir satisfacen una ecuación polinómica con coeficientes polinomios \(p(z_1,\dots, z_n)\) con coeficientes racionales.
Consideramos ahora un operador $$I\colon\mathcal O_\text{alg}\to \mathbf{C}$$ definido por transformar \(f=f(z_1,\dots, z_n)\) en $$I(f)=\int_{[0,1]^n}f(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\,\cdots\,dx_n.$$ Por el teorema fundamental del cálculo este operador se anula en las funciones de la forma $$\frac{\partial}{\partial z_i}f(z_1,\cdots, z_i,\cdots,z_n)-f(z_1,\cdots, 1,\cdots,z_n)+f(z_1,\cdots, 0,\cdots,z_n).\qquad (1)$$
Forma de Ayoub de la Conjetura de Kontsevich-Zagier. Si \(I(F)=0\), entonces \(f\) pertenece al espacio vectorial generado por las funciones de la forma (1), con \(f\in\mathcal O_{\text{alg}}\).
Es decir expresado en esta forma la conjetura de Kontsevich-Zagier no necesita más que el teorema fundamental del cálculo. El trabajo de Ayoub se centra en probar un resultado análogo a este pero que ya no es la conjetura. Ayoub afirma que la demostración de la equivalencia entre la conjetura de Kontsevich-Zagier y el anterior enunciado no es fácil y no la detalla. La dificultad de la nueva conjetura vuelve a ser que sólo permitimos \(f\) algebraicas en (1). Ayoub muestra una prueba simple de la conjetura si permitimos funciones cualesquiera.
Prueba con funciones analíticas: Supongamos que \(I(f)=0\) y \(f\) no depende mas que de una variable, entonces sabemos que \(f\) admite una primitiva en \(\mathbb D\) definida por $$F(z)=\int_0^z f(t)\,dt.$$ Tenemos \(F(0)=0\) y por hipótesis \(F(1)=I(f)=0\) Por tanto $$f(z)=\frac{\partial}{\partial z}F(z)-F(1)+F(0)$$ es combinación lineal de funciones como en (1).
Por inducción, si \(f\) depende de \(n\) variables con \(I(f)=0\), entonces definimos $$g(z_1,\dots, z_n)=\int_0^{z_n}f(z_1,\dots, z_{n-1},t)\,dt$$ y tendremos que $$h=f(z_1,\dots, z_n)-\Bigl(\frac{\partial}{\partial z_n}g(z_1,\dots, z_n)-g(z_1,\dots, 1)+g(z_1,\dots, 0)\Bigr)$$ cumple también \(I(h)=0\) (comprobar) y solo depende de \(n-1\) variables (comprobar). Por la hipótesis de inducción \(h\) será combinación lineal de funciones de tipo (1). Esa misma expresión prueba que \(f\) es combinación de funciones de tipo (1). ⬛
Pero claro la dificultad estriba en que las primitivas de funciones algebraicas no son algebraicas. Es seguro que si \(I(f)=0\) depende de \(n\) variables, se necesitará hacer uso de funciones de más variables para usar solo funciones algebraicas.
Para Saber más
La presentación de Kontsevich y Zagier sobre los periodos es inmejorable:
M. Kontsevich y D. Zagier, Periodos, Mathematics Unlimited – 2001 and beyond, Springer-Verlag, New York 2001, pp. 771–808.
El trabajo de Ayoub es muy técnico, pero la introducción, como en casi todos los artículos públicados en Annals es muy asequible:
J. Ayoub, Une version relative de la conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier, Annals of Mathematics, 181 (2015) 915-992.
Hay dos pequeñas notas sobre el concepto de periodo,
S. Müller-Stach, What is… a period, Notices of the Amer. Math, Soc, 61 (2014) 898-899.
M. Waldschmidt, Raconte-Moi… Une periode, Societé Mathématique de France.
El trabajo de Yoshinaga con la construcción de un número computable pero que no es un periodo está en el arXiv desde el año 2008. Lo he encontrado citado con frecuencia. Es un tanto sorprendente que no esté publicado todavía, pero la verdad es que tiene buena pinta y demuestra una propiedad de computabilidad común a todos los periodos:
M. Yoshinaga, Periods and elementary real numbers, arXiv 0805:0349.
Mi trabajo sobre la integral:
J. Arias de Reyna, True value of an integral in Gradshteyn and Ryzhik’s table, The Ramanujan Journal, 50 (2019) 551-571.
Los Periodos son un tema activo de investigación relacionado con la teoría de motivos. Má información en:
J. Ayoub, Periods and the conjectures of Grothendieck and Kontsevich-Zagier.
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