Fracciones continuas

Delantal:

Esta quincena miramos (bastante) atrás en el tiempo, pues el origen de las fracciones continuas se suele ubicar en los Elementos de Euclides. Aunque lo que incluyó el llamado «padre de la geometría» en su monumental obra no fue exactamente una definición de ese concepto, sí que descubrió un método, relacionado con el tema que nos atañe, para hallar el máximo común divisor de dos números. En cualquier caso, la influencia de Euclides en la matemática universal es innegable y aún hay preguntas abiertas desde hace 2300 años, como por ejemplo, la existencia de números perfectos impares.

Otro tema intensamente tratado cuyo origen se remonta a los Elementos es el del famoso postulado de las paralelas y las geometrías no euclídeas. Durante más de dos milenios se pensó que la geometría euclídea era el modelo adecuado para describir el universo, hasta que los trabajos de Bolyai y Lobachevski (que ilustran esta entrada) demostraron con su cambio de paradigma que había vida más allá del quinto postulado. Cuestionarse el orden establecido es una actitud que puede ser recomendable en bastantes situaciones, pero es imprescindible en matemáticas, y en la ciencia en general.

Divertimento:

Una fracción continua es una expresión del tipo

$$a_0+\displaystyle\frac{1}{a_1+ \displaystyle\frac{1}{a_2+ \displaystyle\frac{1}{a_3+ \displaystyle\frac{1}{\ddots}}}},$$

usada desde tiempos antiguos para resolver diversos problemas. Al número obtenido mediante el cálculo anterior lo denotaremos \([a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]\). En la construcción de la fracción continua impondremos que los \(a_i\) son enteros para todo \(i\), siendo además positivos todos salvo \(a_0\).

1. Calcula la fracción continua de \(26/7\), de \(2,019\) y de \(2,0\!\!\stackrel{\frown}{2}\).
2. ¿Es cierto que toda fracción continua finita representa un número racional y que recíprocamente todo racional se puede escribir como fracción continua finita? ¿Lo puedes justificar?
3. Obtén el desarrollo como fracción continua de \(\sqrt{2}\). ¿Alguna conclusión?

Solución:

Envía tus soluciones, hasta el domingo 15 de marzo, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 18 de marzo. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.