Actualización (1 de diciembre de 2023)
Pocas entradas han tenido tanta repercusión como esta. En primer lugar, el profesor Monsky, de la Universidad de Brandeis, escribió la nota de la que da noticia en sus comentarios. Es una lectura deliciosa. Demuestra los resultados clásicos sobre el tema usando unas herramientas simples (la parte mas elemental de la teoría de cuerpos algebraicos) pero con una elegancia que recomendaría a todos los estudiantes de matemáticas. A mi me dejó asombrado. Es accesible a cualquiera en este enlace The sum of two cubes problem — an approach that’s classroom friendly. Paul Monsky, como muchos matemáticos es muy consecuente con sus ideas. En los años 1970 dejó de pagar el impuesto de la renta federal de los Estados Unidos en protesta contra el gasto militar, por esto fue procesado. ¡Vivan los matemáticos valientes! (o consecuentes).
Simplemente no creo que se me deba obligar a pagar por instrumentos de destrucción. No me hago ilusiones sobre la naturaleza del imperialismo ruso o estadounidense, pero ya tenemos la capacidad de destruir el mundo dos veces. (Monsky, 10 de marzo de 1980).
Esto acabó convirtiéndose en una experiencia positiva: «el juez se mostró comprensivo y me permitió cumplir mi condena trabajando por turnos de vez en cuando en un refugio para mujeres sin hogar».
Monsky ha probado muchos teoremas pero hay uno que puede entender cualquiera, no podemos dividir un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área.
El trabajo del profesor Hongbo Yin que fue el motivo inicial de la entrada fue finalmente publicado en el Transactions of the American Mathematical Society en el año 2022. Pero el resultado que publica está mejorado respecto de la versión en arXiv que manejé para escribir la entrada. Ahora en noviembre de 2023 él ha debido tener noticia de mi entrada y me escribe para comentarme esto. Su polinomio, que no escribí porque era demasiado extenso queda ahora reducido a media línea. Su teorema es digno de escribir completo:
Teorema. Sea \(p\equiv8\bmod9\) un número primo tal que la ecuación $$x^9-24x^6+3x^3+1-9(\root 3\of 3-1) x^2(x^3+1)^2=0$$ no tenga soluciones en \(\mathbb F_p\), entonces al menos uno de los dos números \(p\) o \(p^2\) es la suma de dos cubos racionales.
La sucesión de números primos que cumplen esta condición comienza con
17, 53, 71, 107, 179, 233, 251, 269, 359, 431, 503, 521, 557, 593, 701, 719, 773, 809, 827, 863, 881, 953, 971, 1097, 1151, 1187, 1223, 1259, 1277, 1439, 1511, 1619, 1637, 1709, 1871, 1889, 1997, 2087, 2141, 2213, 2267, 2357, 2393, 2447, 2591, 2609, 2699, 2753, 2789, 2843, 2861, 2879, 2897, 2969, 3041, 3167, 3203, 3221, 3257, 3329, 3347, . . .
y todavía no está incluida en OEIS.
Como esta entrada se publica el día de \(\pi\), lo vamos a celebrar con una composición del matemático, compositor y pianista Noal Elkies de título Allegro a la J. S. Bach y C. M. von Weber; en ella se codifican los primeros 244 dígitos decimales de \(\pi\): cada cuarta nota de la mano derecha da un dígito sucesivo de \(\pi\), con una adecuada codificación. Para saber qué tiene que ver esto con la sustancia de nuestra entrada, tendrás que seguir leyendo.
Los Porismas de Euclides
Nuestra historia empieza con un libro perdido. Los Porismas de Euclides. Tenemos noticias de su existencia porque Diofanto cita tres de los Porismas en su libro de aritmética y Pappus de Alejandría nos cita otros de naturaleza geométrica y en los que se vislumbran los primeros pasos de la geometría proyectiva. Diofanto y Pappus vivieron sobre el siglo tercero y cuarto de nuestra era. Por esto los Porismas no se debieron perder cuando en el año 48 Julio Cesar quemó sus propios barcos en el puerto de Alejandría y el fuego destruyó parte de la Biblioteca. No sabemos cuándo se perdió definitivamente, posiblemente Hypatia pudo verlo. En todo caso se perdió por el fanatismo religioso. O bien fueron los cristianos de Cirilo en el año 415 o bien los moros del Califa Omar en el 642 que decidieron quemar todos los manuscritos. Si estaban acordes con el Corán no eran necesarios y si no lo estaban era mejor destruirlos.
Nos interesa uno de los Porismas aritméticos de Euclides que nos citó Diofanto.
Porisma Si un número \(n\) es diferencia de dos cubos, entonces es la suma de dos cubos.
Recuerdo que para Diofanto los números son números racionales positivos. Diofanto no disponía de la notación actual para las ecuaciones. De manera que lo que hace es resolver el problema en un caso particular dejando al lector ver que su método o es general o se aplica en determinados casos. Como ejemplo voy a usar los métodos de Diofanto para explicar cómo él lo hubiera hecho. (Es solo mi reconstrucción, ya que Diofanto solo cita a Euclides).
Sea el número dado \(n=7 =2^3-1^3\), se pide escribir \(7\) como suma de dos cubos. El primero de los cubos será de lado algo menor que \(2\), digamos que \(2-x\), tomaremos el segundo cubo con lado \(mx-1\). Así que buscamos que \(7=(2-x)^3+(mx-1)^3\). Desarrollando \begin{align*}(2-x)^3+(mx-1)^3 &= 8-12x+6x^2-x^3\\&-1+3mx-3m^2x^2+m^3x^3\\ \end{align*} Escogemos \(m\) de forma que se anule el coeficiente de \(x\), esto es \(m=4\). Tendremos que $$(2-x)^3+(4x-1)^3=7-42x^2+63x^3.$$ Como queremos que la suma de esos dos cubos sea \(7\), debemos tomar ahora \(x\) de forma que \(63x^3-42x^2=0\), es decir \(x=\frac{42}{63}\), y obtenemos la igualdad $$7=\Bigl(\frac{84}{63}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{105}{63}\Bigr)^3.$$ Simplificando $$7=\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^3.$$
El Porisma no es exactamente un teorema, ni un corolario, es un procedimiento para obtener un resultado a partir de unos datos. Dejo al lector el trabajo de usar el método en general para \(n=a^3-b^3\) donde \(a\) y \(b\) son racionales positivos y encontrar bajo qué condición obtenemos \(n=c^3+d^3\) con \(c\) y \(d\) racionales positivos.
Dos tipos de números
Hemos visto que \(7\) es suma de dos cubos, no todo número tiene esta propiedad. No podemos escribir \(1\) como suma de dos cubos. Si encontramos dos número racionales con \(1=a^3+b^3\), podríamos escribir las dos fracciones con un denominador común \(a=\frac{x}{z}\), \(b=\frac{y}{z}\), y entonces \(z^3=x^3+y^3\). Pero el teorema de Wiles nos dice que esto no es posible con números no nulos. Es decir \(1\) no es suma de dos cubos no nulos. La sucesión A020898 es la sucesión de los enteros \(n\), libres de cubos, tales que la ecuación \(x^3+y^3=nz^3\) tiene soluciones no triviales.
¿Un matemático pendenciero?
En 1841, recién contratado por la Universidad de Virginia, Sylvester estaba deseoso de continuar sus investigaciones matemáticas. Tenía entonces 27 años y una reputación de ser uno de los mejores matemáticos ingleses. Sorprendentemente, a los 5 meses lo vemos volver precipitadamente a Londres sin siquiera recoger sus libros en Virginia. ¿Qué le hizo renunciar a su proyecto? Podríamos decir que tropezó con un alumno. El alumno repetidamente había enervado a Sylvester durante sus clases. Sylvester se había quejado al claustro quién a su vez había reprendido al alumno. En la última ocasión en que Sylvester lo reprendió el alumno se sintió herido en su honor. El alumno le retó a un duelo. Cuando se encontraron Sylvester llevaba un bastón espada y el alumno una porra pesada. El alumno se plantó delante y le pidió que se disculpara, con la porra le quitó el sombrero y después le dió un golpe en la cabeza. Sylvester sacó su espada y se abalanzó sobre el alumno. Le dió justo en el corazón, el alumno gritó ¡estoy muerto! ¡me ha matado! y cayó al suelo. Siguiendo el consejo de uno de los presentes Sylvester salió corriendo…, vino un médico quien encontró al alumno lívido y bañado en sudor, abriéndole la camisa vio que no había más que un rasguño. Sylvester había tocado hueso. El suceso dejó fuera de la matemática a Sylvester durante 12 años en que trabajó como actuario en Londres y estudio derecho. De ese modo conoció a Cayley otro abogado de profesión pero matemático por dedicación.
The object of law was to say a thing in the greatest number of words, of mathematics to say it in the fewest.
Arthur Cayley
El problema que nos ocupa hoy lo considera Sylvester en su segundo periodo matemático, después del altercado con el alumno. En general podríamos plantear el problema de la siguiente forma:
Problema de Sylvester. ¿Qué números naturales \(n\) pueden descomponerse como suma de dos cubos racionales no nulos?
Si \(n=a^3+b^3\), podemos escribir \(a\) y \(b\) con un común denominador \(a=x/z\), \(b=x/z\) y llegamos al problema equivalente:
Problema. ¿Para qué valores de \(n\) tiene la ecuación diofántica \(x^3+y^3=nz^3\) soluciones no triviales? Es decir, distintas de \((1,-1,0)\) y sus multiplos.
El problema es anterior a Sylvester. Legendre había probado que en el caso \(n=1\), \(3\), \(4\) y \(5\) la ecuación \(n=a^3+b^3\) no tiene soluciones, y pensaba que lo mismo sucedería en el caso de \(n=6\). Pero no $$6= \Bigl(\frac{37}{21}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{17}{21}\Bigr)^3.$$ Sylvester consigue probar para muchos números \(n\) que la ecuación no tiene soluciones.
Sylvester planteó el problema de demostrar alguno de sus resultados en la revista Nouvelles annales de mathématiques, la revista de los Candidatos a la Escuela Politécnica Normal. El matemático Lucas publicó una solución en la revista que simplifica mucho los argumentos de Sylvester y da un teorema que me resulta muy atractivo:
Teorema. (Lucas) La ecuación \(x^3+y^3=nz^3\) tiene soluciones no triviales si y solo si existen números enteros tales que \(n=uv(u+v)/w^3\).
Demostración. En efecto si \(n w^3=uv(u+v)\), es fácil comprobar que $$(u^3-v^3+6u^2v+3uv^2)^3+(v^3-u^3+6v^2u+3vu^2)^3=nw^3(u^2+uv+v^2)^3.$$ Por otro lado si \(x^3+y^3=nz^3\), tomamos \(u=x^3\), \(v=y^3\) y entonces $$uv(u+v)=x^3 y^3(x^3+y^3)=x^3 y^3 n z^3=n(x y z)^3.$$ y basta tomar \(w=xyz\). qed.
En general esto es muy difícil de aplicar. Pero en el caso de \(n=6\) tenemos \(6=2\times 3=1\times2\times(1+2)\) y obtenemos la solución antes mencionada que Legendre no encontró.
Los resultados de este primer periodo del problema se puede resumir en el teorema
Teorema. (Pepin, Lucas, Sylvester) Si \(p\equiv 2\) o \(p\equiv 5 \bmod9\) es un primo impar, entonces ni \(p\) ni \(p^2\) se pueden escribir como suma de dos cubos.
La teoría moderna del problema de Sylvester
Queremos saber si existen puntos racionales en la curva \(x^3+y^3=n\). Estamos de suerte, se trata de una curva elíptica \(E_n\). Los puntos racionales de una curva elíptica forman un grupo abeliano. Si \(P\) es un punto racional en \(E_n\) podemos construir otros \(2P=P+P\), \(3P\), etc. Eso es lo que ya intuía Euclides que pudo construir un punto racional \(n=A^3+B^3\) a partir de otro \(n=a^3+(-b)^3\).
Si los múltiplos de \(P\) forman un subgrupo finito, el punto \(P\) se llama de torsión. Las curvas \(E_n\) no tienen torsión mas que para \(n=c^3\) o \(n=2c^3\), nos podemos olvidar de estos casos y entonces nuestra cuestión es relativa al rango de la curva. Si el rango es \(0\) la curva no tiene puntos racionales. Si el rango es \(\ge1\) tendrá infinitos puntos racionales.
El que inaugura este punto de vista es Selmer que consigue probar $$\text{Rango de $E_p$} \le\begin{cases}0, &\text{si $p\equiv2, 5\pmod 9$},\\ 1, &\text{si $p\equiv4,7,8\pmod9$},\\2, &\text{si $p\equiv1 \pmod9$}.\end{cases}$$ Uno de los problemas del milenio, cada uno dotado con un millón de euros de premio (y eso qué es, cuando algunas reciben 65 por una tarea mucho menos complicada), tiene que ver con esto. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer). Sea \(E\) una curva elíptica y \(L(E,s)\) la función \(L\) asociada. El rango de la curva \(E\) es igual al orden en el punto \(s=1\) de la función \(L(E,s)\).
Por tanto la conjetura predice que si \(L(E,1)\ne0\), entonces la curva no tiene puntos racionales que no sean de torsión. En cambio si \(L(E,1)=0\) entonces la curva tiene infinitos puntos racionales. Como vemos el cálculo de Selmer ya nos prueba que para \(p\) primo impar \(\equiv 2,5\bmod 9\) no habrá puntos racionales en \(E_p\).
Cuando \(p\equiv 4,7,8\bmod9\), se sabe que el signo de la ecuación funcional de \(L(E_p,s)\) es \(-1\). Esto implica que \(L(E_p,1)=0\) en estos tres casos y si la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es cierta habrá infinitas soluciones racionales de la ecuación \(x^3+y^3=p\).
La historia se divide aquí en varios casos. Muchos de ellos dependiendo de las técnicas introducidas por un matemático amateur al que reconocieron sus méritos solo cuando ya había muerto.
Puntos de Heegner
Heegner (1893-1965) trabajó principalmente como ingeniero, obteniendo varias patentes en el campo de la radio. Fueron usados por Telefunken. Como matemático trabajó aislado, aunque tuvo una educación adecuada en la Universidad de Berlin. Hecke fue referee de uno de sus trabajos, afirmaba que Heegner comprendía bien el tema pero que su exposición era lamentable, usando una terminología propia, en muchos casos superflua.
Su trabajo (1952) era el resultado de una técnica nueva para obtener puntos racionales en curvas. Con ella consigue resolver un problema importante propuesto por Gauss, ¿en qué cuerpos cuadráticos imaginarios se cumple el teorema fundamental de la aritmética? Heegner consigue probar que justamente en \(\mathbb Q(\sqrt{n})\) para \(n=-3\), \(-4\),\(-7\),\(-8\),\(-11\), \(-19\), \(-43\), \(-67\) y \(-163\).
En su prueba Heegner uso un libro de H. Weber, Lehrbuch der Algebra, que contenía algunos errores. Esto junto con la oscuridad de su exposición hizo que la comunidad matemática no aceptara el trabajo de Heegner. Baker (1966) y Stark (1967) resolvieron de nuevo el problema. Fue en ese momento cuando Birch, Deuring, Stark hicieron ver que en realidad la prueba de Heegner era correcta si acaso con un pequeño gap fácil de rellenar.
La idea de Heegner es aproximadamente la siguiente: Cualquier curva elíptica admite una parametrización mediante formas modulares. La imagen de los números cuadráticos imaginarios son algebraicos. La suma en la curva elíptica de todos los conjugados es un candidato, ya que estará en la curva y será invariante para el grupo de Galois. Son los llamados puntos de Heegner.
Resultados recientes
El primer resultado se debe a N. Elkies que anunció la prueba de que en el caso \(p\equiv 4,7\bmod9\) el rango de la curva \(E_p\) es \(1\), mediante una modificación del método de Heegner para encontrar puntos. Los detalles de la prueba de Elkies no han sido publicados. Con respecto a este mismo caso S. Dasgupta y J. Voight (2006) demuestran, (también usando las técnicas de Heegner pero de manera distinta que Elkies), que el rango de \(E_p\) y el de \(E_{p^2}\) es 1 siempre que \(3\) no sea un cubo módulo \(p\).
Elkies aparte de un gran matemático es compositor y pianista. A veces da una visión matemática de la música: una de sus composiciones es precisamente la obra Allegro a la J. S. Bach y C. M. von Weber que codifica los primeros 244 dígitos decimales de \(\pi\) y de la que incluíamos unos compases al inicio de esta entrada.
El caso \(p\equiv1\bmod 9\) ha sido tratado por Zagier y Villegas (1995), en este caso se dan dos posibilidades o bien el rango de \(E_p\) es \(0\) o bien \(2\) (dando lugar ecuaciones \(x^3+y^3=p\) sin soluciones o con soluciones respectivamente).
El teorema que prueban es
Teorema (Zagier, Villegas). Definimos una sucesión de números \(c_0=1\), \(c_1=2\), \(c_3=-152\), … mediante \(c_n=s_n(0)\) donde \(s_0(x)=1\), \(s_1(x)=3x^2\) y $$s_{n+1}(x)=(1-8x^3)s’_n(x)+(16n+3)x^2 s_n(x)-4n(2n-1)x s_{n-1}(x),\quad n\ge1.$$ Si \(p=9k+1\) es primo, entonces \(L(E_p,1)=0\) si y sólo si \(p\) divide a \(c_k\).
Fernando Villegas es un matemático argentino que desde su juventud trabajó en Estados Unidos. Su matemática es siempre muy atractiva y sorprendente. De Don Zagier ya hablamos en otra entrada anterior.
Los resultados de Villegas y Zagier usan técnicas diferentes de la de los puntos de Heegner, asociadas mas bien a la función \(L\) de la curva elíptica
Después de esto el caso difícil es el caso \(p\equiv8 \bmod9\).
El 31 de diciembre de 2019 Hongbo Yin ha subido a arXiv su trabajo en que prueba el siguiente resultado
Teorema (Hongbo Yin). Sea \(p\equiv8\bmod9\) un primo. Existe un polinomio explícito \(D(x)\) de grado 27 tal que se cumple lo siguiente: Si \(3\mid \frac{p+1}{9}\) y \(D(x)\) no se anula módulo \(p\) o bien si \(3\) no divide a \(\frac{p+1}{9}\) y \(D(x)\) se anula módulo \(p\), entonces al menos uno de los dos \(p\) o \(p^2\) se pueden escribir como suma de dos cuadrados.
No escribo el polinomio que ocupa tres renglones en el trabajo de Hongbo Yin.
Por tanto el caso difícil no está resuelto satisfactoriamente hasta ahora. Hay que decir que Elkies al anunciar su trabajo añadió una tabla con las soluciones de la ecuación en los casos \(p\equiv 4, 7\bmod9\) que le proporcionaba su método. Elkies también aplicó su método al caso \(p\equiv 8\bmod 9\). Aunque no era capaz de probarlo en general su método le da la solución de \(p=x^3+y^3\) para todos los valores de \(p\equiv 8\) que pudo ensayar en su ordenador.
Para saber más
Sylvester es ciertamente un personaje interesante, hay un libro con su correspondencia que muestra que estuvo conectado con los mas importantes personajes del momento
K. H. Parshall, James Joseph Sylvester. Life and Work in Letters, Oxford Univ. Press, 1998.
Pero la historia de su encuentro con el alumno díscolo está contada en
L. S. Feuer, Sylvester in Virginia, The Mathematical Intelligencer 9 (1987), 13-19.
Los trabajos de Sylvester son difíciles de leer, pero es muy recomendable el trabajo de E. Lucas, Sur l’Analyse Indéterminée du Troisième Degré.-Demonstration de Plusieurs Théorèmes de M. Sylvester, American J. Math., 2, (1879) 178-185
Sobre Heegner encontramos el pdf de una conferencia de N. Schappacher sobre su vida Kurt Heegner.
Mucha información sobre el problema se puede obtener de las páginas de Noam Elkies: Tables of solutions… y la tabla de soluciones experimentales en el caso \(p\equiv8\bmod9\). Información sobre las actividades musicales de Noam Elkies Pero la que hemos tomado sobre el número \(\pi\) está sacada de la página Allegro a la J.S. Bach and C.M. von Weber.
Los trabajos originales que hemos consultado sobre el tema no son lectura fácil. El más accesible es el libro de Zagier
J. H. Bruinier, G. van der Geer, G. Harder y D. Zagier, The 1-2-3 of Modular forms, Springer, 2008, p.~97-99.
El trabajo de Selmer inaugura la nueva etapa del problema E. S. Selmer, The Diophantine Equation \(ax^3+by^3+cz^3=0\), Acta Math. 85 (1951) 203-362, y E. S. Selmer, The Diophantine Equation \(ax^3+by^3+cz^3=0\). Completion of the tables, Acta Math. 92 (1954) 191-197.
F. Villegas y D. Zagier, Which primes are sums of two cubes?, Number theory (Halifax, NS, 1994), 295-306, CMS Conf. Proc., 15, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.
S. Dasgupta y J. Voight, Sylvester Problem and Mock Heegner points, Proc. Amer. Math. Soc. 146 (2018) 3257-3273.
Hogbo Yin, On the $8$ case of Sylvester Conjecture, arXiv:1912.13338.
Thank you for this delightful article. I’ve recently found nice simplifications of Sylvester’s non-existence proof, using nothing beyond simple facts about the Eisenstein integers. I’m writing them up for a note that should be accessible to undergrad math majors with an interest in number theory and algebra (but I eschew the language of ideals and elliptic curves). I’ve put references to your article in my note to give readers some historical perspective. I’ve also shown that certain irreducible Eisenstein integers aren’t (x^3) + (y^3) with x and y in Q[omega]. And given a little empirical evidence for one existence conjecture. I’ll send you the note soon if you’re interested.
A question for the author—A couple of nights ago I left a comment praising his article, telling him that I’d be including references to it in some notes I was writing up giving extremely simple proofs
of classical results of Euler, Legendre, Kummer and Sylvester involving the sum of two cubes problem, and giving a few new results with the field Q replaced by the 3-cyclotomic field. I asked the author if he’d like to see these notes when I completed them in the near future. But I got no response, and my comment has since disappeared! I assure him that it’s not junk, and again ask if he’d like to see the notes.
Yes, I would like to see, sorry I do not see the comments with a periodicity.
Greetings, Professor de Reyna
I finished the notes(35 handwritten pages), and will send you a copy in the mail if you provide an address. It ends with a flourish–a pretty result that Sylvester missed, and I think it will entertain you.
Here are the new results:
1. If m in Z[omega] is irreducible of norm that’s 4 or 7 mod 9, then no associate of m or m^2 (apart from the obvious exceptions of 2 and -2) is (x^3) + (y^3) with x and y in K = Q[omega].
2. Let p in Z be a prime that’s 1 mod 9. Let m be either of the two irreducible factors of p in Z[omega] that are 1 mod 3. Then when m isn’t 1 mod 9, neither m nor m^2 is (x^3) + (y^3) with x and y in K.
So for example neither -(5 + 3*omega) nor 4 – 3*omega is a two cube sum. When m is 1 mod 9, it seems plausible that m and m^2 are two cube sums.But the curves have even K- ranks, so I doubt that the Heegner approach will produce solutions. What’s nice is that all the old results as well as the new have the same basic simple proof. I’m still writing things up—what address should I send them to when I’m done? Thanks, Paul.
Diophantus does cite the Porisms three times in his Book V, but he does not cite Euclid. In fact, most historians believe that Diophantus is talking about a work of his own.
Let me also mention that in Euclid’s books on number theory, arithmos always means «natural number»; for this reason alone I think that this result cannot be credited to Euclid.
First some facts:
(A) Diophantus phrase is We have it in the Porisms that \dots and yes he uses it three times in his book of Arithmetic.
(B) There is a (lost) book of Euclid with the title Porisms. We know by Pappus Porisms of Euclid consists of three books and 171 propositions. Pappus speaks about some of these porisms and they are of geometrical character.
(C) In modern times many authors speculated that the porisms were simply part of the Arithmetica, others assumed the Porisms in Diophantus alluded to a lost book of Diophantus. But there is no old source speaking about a book by Diophantus with that title.
Fact (C) is difficult to explain. How a book that is quoted by Diophantus simply by his title was not cited by anyone. So Occam’s razor principle leads us to suggest that it is the book of Euclid.
Diophantus cite the Porisms as a well known book. He does not have to talk about Euclid if the source is clear. But if he refers to another book with the same title (written by himself or any other not Euclid) he should have specified.
The question of language about the meaning of arithmos in Euclid requires a comment. Did Euclid know that $latex \sqrt{2}$ is not rational? Of course he uses other words for this. Diophantus did know about rational numbers and it is quite possible that he is reformulating a result of Euclid.
Euclid expose the theory of proportions of Eudoxus, precisely because not all proportions are rational.
Euclid’s Porisms is a geometrical book, but this is also true for the Elements. The Porisms could contain arithmetic results. More when this arithmetical result read the difference of two cubes can be transformed into the sum of two cubes. Equivalently: Given two cubes (by his sides) construct other two (by his sides) so that the difference of the two given cubes is equivalent to the sum of the two constructed ones.
In fact the sides of the cubes in the porisms are constructible with rule and compass and the construction shows to Diophantus that the sides constructed are rational if the data sides are. When $latex a^3\ge 2b^3 $ the construction is $$a^3-b^3=a^3 \Bigl(\frac{a^3-2b^3}{a^3+b^3}\Bigr)^3+b^3\Bigl(\frac{2a^3-b^3}{a^3+b^3}\Bigr)^3.$$
Dear Professor de Reyna, thank you for your so nice blog explaining Sylvester’s problem and citing my result. I just like to inform you that the condition in my result has been simplied dramastically in my second (also published) version. Please have a look if you have interest.