Solución: Fracciones continuas

Publicamos la solución al divertimento de las fracciones continuas. Gracias a Jaime Benabent, Gustavo Roque Collado, Eduardo Dorrego, Antonio Navas y Miguel Pineda por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

Una fracción continua es una expresión del tipo

$$a_0+\displaystyle\frac{1}{a_1+ \displaystyle\frac{1}{a_2+ \displaystyle\frac{1}{a_3+ \displaystyle\frac{1}{\ddots}}}},$$

usada desde tiempos antiguos para resolver diversos problemas. Al número obtenido mediante el cálculo anterior lo denotaremos \([a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]\). En la construcción de la fracción continua impondremos que los \(a_i\) son enteros para todo \(i\), siendo además positivos todos salvo \(a_0\).

1. Calcula la fracción continua de \(26/7\), de \(2,019\) y de \(2,0\!\!\stackrel{\frown}{2}\).
2. ¿Es cierto que toda fracción continua finita representa un número racional y que recíprocamente todo racional se puede escribir como fracción continua finita? ¿Lo puedes justificar?
3. Obtén el desarrollo como fracción continua de \(\sqrt{2}\). ¿Alguna conclusión?

Solución:

Los cálculos pedidos son directos, así que no comentaremos las sucesivas igualdades que vamos obteniendo:

$$ \frac{26}{7}=3+\displaystyle\frac{5}{7}=3+ \displaystyle \frac{1}{ \displaystyle \frac{7}{5}}=3+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{2}{5}}=3+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{1}{ \displaystyle \frac{5}{2}}}=3+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{1}{2+ \displaystyle \frac{1}{2}}}. $$

$$2,019=2+\frac{19}{1000}=2+ \displaystyle \frac{1}{52+ \displaystyle \frac{12}{19}}=2+ \displaystyle \frac{1}{52+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{7}{12}}}=2+ \displaystyle \frac{1}{52+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{5}{7}}}}=$$

$$=2+ \displaystyle \frac{1}{52+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{5}}}}}= 2+ \displaystyle \frac{1}{52+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{1}{1+ \displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2}}}}}} .$$

Por último, como \(2,0\!\!\stackrel{\frown}{2} =(202-20)/90\), tendremos que

$$ 2,0\!\!\stackrel{\frown}{2}=\frac{91}{45}=2+\frac{1}{45}.$$

En conclusión, \(\displaystyle\frac{26}{7}=[3;1,2,2]\), \(2,019=[2;52,1,1,1,2,2]\) y \(2,0\!\!\stackrel{\frown}{2}=[2;45]\).

En cuanto a las preguntas del segundo apartado, ambas tienen respuestas afirmativas. En efecto, toda fracción continua finita es un número racional, pues para calcularla no hacemos más que una cantidad finita de operaciones internas en el cuerpo de los números racionales. Para demostrar la otra afirmación, vamos a suponer que tenemos un número racional no entero \(x\in(0,1)\); cualquier otro caso es o más sencillo o análogo a este, sumando o restando un entero. Sabemos que existirán dos enteros positivos \(m<n\), primos entre sí, tales que \(x=m/n\). Si dividimos \(n\) entre \(m\), podremos escribir \(n=qm+r\), de modo que

$$x=\frac{m}{n}=\frac{1}{\displaystyle\frac{n}{m}}=\frac{1}{q+\displaystyle\frac{r}{m}}.$$

Ahora hemos obtenido al final de nuestra nueva expresión otra fracción, de denominador igual al numerador de la anterior y de numerador menor que el anterior (esto es, \(r<m\)). Siguiendo este proceso acabaremos en una cantidad finita de pasos, porque todos los enteros involucrados son positivos.

Por último, para hallar el desarrollo como fracción continua de \(\sqrt{2}\), podemos darnos cuenta de lo siguiente:

$$\sqrt{2}=1+(\sqrt{2}-1)=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}.$$

Por tanto, la expresión como fracción continua es periódica de la forma \([1;2,2,2,…]\). Como habíamos argumentado en el apartado anterior, no podía tener una expresión finita al no ser racional.

De hecho, si la expresión como fracción continua de un número irracional \(x\) es periódica de periodo uno, \(x\) es un irracional cuadrático, ya que

$$x=a+\displaystyle\frac{1}{b+\displaystyle\frac{1}{b+\displaystyle\frac{1}{b+\displaystyle\frac{1}{\ddots}}}},$$

es decir, \(x=a+\displaystyle\frac{1}{b+x-a}\), así que \(x\) es una solución de la ecuación de segundo grado

$$z^2+(b-2a)z+(a^2-ab-1)=0.$$