Solución: Numerabilidad

Publicamos la solución al divertimento Numerabilidad. Gracias a Ángel, Jaime Benabent, Gustavo Roque Collado, Sergio Flor, Antonio Navas, Miguel Pineda, Juan Simón y Ángel Valera por las soluciones que nos han enviado. Agradecemos también a Diego Sánchez por el procedimiento de Python/Sage que nos ha enviado.

Divertimento:

Al contrario de lo que ocurre con los conjuntos finitos, si un conjunto tiene infinitos elementos no se puede decir que el conjunto de sus parejas ordenadas tenga más elementos que el anterior. Una forma de comprobar que hay tantos naturales como parejas de ellos es hacer una red con las parejas de números y numerarlas según el camino que se indica en la figura, de modo que a cada pareja le corresponde su número de orden en el camino y a cada natural una única pareja. Esta correspondencia biyectiva nos permite afirmar que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal.

\(\begin{array}{ccccccc} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \\ (3,1) & \rightarrow & (3,2) & \rightarrow & (3,3) & & \ldots\\ \uparrow & & & & \downarrow & & \\ (2,1) & \leftarrow & (2,2) & & (2,3) & & \ldots\\ & & \uparrow & & \downarrow & \\ (1,1) & \rightarrow & (1,2) & & (1,3) & \rightarrow & \ldots \end{array} \)

En este divertimento nos preguntamos qué pareja corresponde a \(2020\).

Solución:

La respuesta es \((6,45)\). Las soluciones recibidas usan la misma estrategia inductiva, buscando la pareja por dos caminos distintos. Veamos los dos enfoques aquí.

Fijémonos primero en la primera fila de parejas, y llamemos \(a_n\) al natural que corresponde al par \((1,n)\). Vamos a probar por inducción que

\(a_n=\left\{\begin{array}{ll}n^2 &\,\text{ si } n \text{ es impar}\\ (n-1)^2+1&\,\text{ si } n \text{ es par}\end{array}\right..\)

Los primeros casos son evidentemente ciertos; basta ver la tabla del enunciado. Para probar el caso general, nos tenemos que dar cuenta de que en la \(n\)-ésima «ele» que sigue la correspondencia nos movemos en sentido antihorario si \(n\) es par y en sentido horario si \(n\) es impar. Por esa razón la pareja \((1,n)\) sigue justo después de \((1,n-1)\) cuando \(n\) es par.

Supongamos pues que \(n\) es impar. Desde la pareja \((1,n-1)\) debemos avanzar \(n-2\) parejas hasta \((n-1,n-1)\) y otras \(n-2\) hasta \((n-1,1)\), en sentido antihorario. Justo después viene \((n,1)\), y después, en sentido horario, \(n-1\) parejas hasta \((n,n)\) y otras \(n-1\) hasta \((1,n)\), adonde queríamos llegar. Asumiendo que a la pareja \((1,n-1)\) le correspondía el entero \(a_{n-1}=(n-2)^2+1\), tendremos que

$$a_n=(n-2)^2+1+2(n-2)+1+2(n-1)=n^2.$$

(De un modo similar se puede probar que la suma de los \(r\) primeros impares positivos es \(r^2\).) Ahora, como \(44^2=1936<2020<45^2=2025\), la pareja que corresponda a \(2020\) se encontrará en la cuadragésima quinta «ele», que acabará en \((1,45)\), estando en el lugar \(2025\). Contando cinco parejas en el sentido contrario al del recorrido seguido, llegamos a que la que ocupa el lugar \(2020\) será \((6,45)\).

Otro camino posible es intentar hallar a qué entero positivo corresponde la pareja \((n,n)\) de la diagonal; llamémoslo \(b_n\). De modo completamente análogo, contando las parejas que debemos recorrer de un elemento de la diagonal al siguiente, podríamos probar que \(b_n=n^2-n+1\).

De hecho es más sencillo, pues casi no hay que distinguir casos según la paridad de \(n\). En general, para llegar de \((n-1,n-1)\) a \((n,n)\) hay que pasar por \(n-2\) parejas hasta \((1,n-1)\) o \((n-1,1)\) (en función, esta vez sí, de la paridad de \(n\)), una más hasta \((1,n)\) o \((n,1)\), respectivamente, y por último otras \(n-1\) hasta la diagonal. En total,

$$b_n=(n-1)^2-(n-1)+1+(n-2)+1+(n-1)=n^2-n+1.$$

Nuevamente, como \(b_{45}=1981<2020<b_{46}=2071\), contando treinta y nueve parejas hacia abajo (porque \(45\) es impar) llegamos a \((6,45)\).

Nótese que en este divertimento se ha asumido en el enunciado que el cero no es un número natural. Nuestros lectores, sean de una opinión u otra, convendrán con nosotros en que la presencia del cero en nuestras parejas no afecta al razonamiento, pero sí al resultado. Como pequeño entretenimiento extra para estos días proponemos realizar el divertimento análogo considerando al cero como un natural de pleno derecho.