Solución: el del préstamo

Publicamos la solución al divertimento del préstamo. Gracias a Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Francisco Medina por las soluciones que nos han enviado. Se han recibido dos soluciones incorrectas.

Divertimento:

Una financiera especializada en préstamos propone a un solicitante las siguientes condiciones. Ofrece un préstamo al \(7\%\) anual durante \(30\) años; durante los primeros \(14\) años el prestatario no paga nada, al final del año \(15\) paga la mitad del nominal del préstamo y durante los \(15\) años restantes paga \(24.803\;€\) al final de cada año, cancelándose de esta forma el préstamo y sus intereses.

1. ¿A cuánto asciende el préstamo?
2. En el año \(20\), ¿cuánto capital se amortiza y qué cantidad se paga de intereses?
3. Al acabar los \(30\) años, ¿cuánto se ha pagado de intereses?

Solución:

Existen fórmulas generales para el cálculo de los diversos conceptos en un problema de interés compuesto, pero incluimos a continuación una de las soluciones recibidas por su completitud y generalidad.

Solución de Marcos Jiménez y Manuel Zambrana:

Consideramos primero un problema genérico, y emplearemos su solución como modelo para el que se nos plantea, con las adaptaciones convenientes:

Un préstamo de valor nominal \(x\) e interés anual fijo \(\alpha\) se paga en anualidades de montante \(q\). Calcular la deuda al final del año \(n\).

Asumimos que los intereses generados en cualquier año se calculan sobre la deuda total existente (intereses acumulados incluidos) a final del año anterior.

En general, la deuda al final del año \(n\), denotada \(D_n\), se obtiene de \(D_{n-1}\), aumentada en los intereses generados durante el año \(n\) y disminuida en la cantidad abonada ese mismo año. Es decir,
$$D_n = D_{n-1} + \alpha D_{n-1} – q= (1 + \alpha)D_{n-1} -q.$$
Así, al final del primer año tendremos \(D_1 = (1 + \alpha)x -q\), al final del segundo año,
$$D_2 = (1 + \alpha) D_1 -q = (1 + \alpha)^2x -( 1 + (1 + \alpha))q ,$$
y en general, se puede probar por inducción que
$$\begin{array}{rl}D_n&=(1+\alpha)^nx-(1+1+\alpha+(1+\alpha)^2+\ldots+(1+\alpha)^{n-1})q\\
&=(1+\alpha)^nx-\displaystyle\frac{(1+\alpha)^n-1}{\alpha}q.\end{array}$$

Si el pago del préstamo e intereses se completa al cabo de \(n\) años, la condición de contorno \(D_n = 0\) permite calcular \(q\), resultando
$$q = \frac{\alpha(1+\alpha)^n}{(1+\alpha)^n -1}x .$$
Esta será la fórmula maestra que usaremos sistemáticamente en la resolución del problema propuesto. Como subproducto de ella, se sigue trivialmente el interés generado durante el año \(n\):
$$I_n = \alpha D_{n-1} = \alpha(1 + \alpha)^{n-1} x – ( (1 + \alpha)^{n-1} -1)q.$$

Estamos ahora en condiciones de abordar el problema original, que enunciamos aquí por conveniencia:

Un préstamo de valor nominal \(x\) e interés anual fijo \(\alpha\) (\(\alpha = 7/100\)) se paga durante \(2n\) años (\(n=15\)). Durante los primeros \(n-1\) años el cliente no paga nada. Al final del año \(n\) se paga la cantidad \(\beta x\) (\(\beta = 1/2\)). Durante los últimos \(n\) años se abona una cantidad anual \(q\) (\(q = 24803~€\)). Al final del último año, préstamo e intereses quedan completamente cancelados. Se pide:

1. El valor nominal del préstamo.
2. Capital amortizado e intereses pagados en el año \(n+i\) (\(i=5\)).
3. Interés total pagado al cabo de los \(2n\) años.

1. La deuda al final del año \(n-1\) se obtiene de la fórmula general de la deuda, tomando \(q=0\):
$$D_{n-1} = (1 + \alpha)^{n-1}x .$$
Al final del año \(n\):
$$D_n = (1 + \alpha) D_{n-1} – \beta x = ( (1 + \alpha)^n – \beta ) x.$$

La deuda al final del año \(n+k\), con \(1 \leq k \leq n\), se obtiene análogamente:
$$\begin{array}{rl}D_{n+k} &= (1 + \alpha)^k D_n – \displaystyle\frac{(1 + \alpha)^k -1}{\alpha}q\\
&= (1 + \alpha)^k ( (1 + \alpha)^n – \beta ) x-\displaystyle\frac{(1 + \alpha)^k -1}{\alpha}q .\end{array}$$

En particular, haciendo \(k = n\), obtenemos
$$D_{2n} = (1 + \alpha)^n ( (1 + \alpha)^n – \beta ) x-\frac{(1 + \alpha)^n -1}{\alpha}q ,$$
y dado que al cabo de \(2n\) años la deuda se cancela, la condición de contorno \(D_{2n} = 0\) conduce a la ecuación
$$0 =(1 + \alpha)^n ( (1 + \alpha)^n – \beta ) x-\frac{(1 + \alpha)^n -1}{\alpha}q,$$
que tiene como solución
$$x =\frac{(1 + \alpha)^n -1}{\alpha (1 + \alpha)^n ( (1 + \alpha)^n – \beta )}q.$$
Sustituyendo valores, obtenemos \(x = 100000~€\).

2. El interés asociado al año \(n + k\) es \(I_{n+k} = \alpha D_{n+k-1}\), por lo que
$$I_{n+k} =\alpha(1 + \alpha)^{k-1} ( (1 + \alpha)^n – \beta ) x-((1+\alpha)^{k-1} -1)q,$$
de donde, sustituyendo valores, obtenemos \(I_{20} = 13019~€\).La diferencia \(q -I_{20} = 11784 ~€\) se emplea en amortizar el total formado por el nominal del préstamo y los intereses acumulados durante los primeros \(14\) años, que es la única cantidad que puede definirse sin ambigüedad. Si convenimos en decir que se amortiza el nominal solo si la deuda total contraída es menor que el valor del nominal, entonces debemos concluir que en el año \(20\) no hay amortización del nominal del préstamo, y que el pago en ese año se destina únicamente a cubrir intereses acumulados.

De hecho, sustituyendo valores, la deuda total en el año \(20\) asciende a \(174206~€\), por lo que, hasta final de ese año, \(74206~€\) siguen acumulados en concepto de intereses. Con este convenio, la amortización del nominal del préstamo comenzaría sólo a partir del año \(26\), cuando la deuda deja de exceder el valor del nominal, como se aprecia en la Tabla 1.

3. La cantidad total abonada por el cliente durante el periodo de validez del préstamo es \(\beta x + nq\). Debemos restar a esta cantidad el valor nominal del préstamo a fin de calcular el interés total \(I\) pagado:
$$I = \beta x + nq -x = nq – (1-\beta)x ,$$
es decir, \(I = 322045~€\).

Nota. A modo de comprobación de los resultados obtenidos con el método general, incluimos abajo un cuadro donde se detalla el interés, pago realizado por el cliente y deuda acumulada durante cada uno de los años que dura el préstamo. La construcción es iterativa, es decir, cada línea de la tabla se obtiene a partir de la anterior.

Año	Interés (€)	Pago (€)	Deuda (€)
1	7000	0	107000
2	7490	0	114490
3	8014	0	122505
4	8575	0	131080
5	9176	0	140255
6	9818	0	150073
7	10505	0	160578
8	11240	0	171819
9	12027	0	183846
10	12869	0	196716
11	13770	0	210486
12	14734	0	225220
13	15765	0	240985
14	16869	0	257854
15	18050	50000	225904
16	15813	24803	216914
17	15184	24803	207295
18	14511	24803	197002
19	13790	24803	185990
20	13019	24803	174206
21	12194	24803	161597
22	11312	24803	148106
23	10367	24803	133671
24	9357	24803	118224
25	8276	24803	101697
26	7119	24803	84013
27	5881	24803	65091
28	4556	24803	44844
29	3139	24803	23180
30	1623	24803	0

(Nota del redactor: en la notación de los autores, realmente se obtiene que el total del préstamo es \(x\simeq 100000,\!1934~€\), \(I_{20}\simeq13019,\!2734~€\) e \(I\simeq322044,\!9034~€\), pero hemos obviado esas pequeñas diferencias, que en el cuadro de amortización de arriba producirían cambios menores.)