La torsión en curvas elípticas sobre cuerpos de números (explicado para ti)

Las curvas elípticas son, sin duda, uno de los objetos más fascinantes del universo matemático. Aúnan dos características que aparecen juntas muy raramente: son simples como objetos (esto es, son sencillas de entender… al menos en cierto ámbito) y son a la vez una fuente aparentemente inagotable de problemas interesantes donde, además, convergen múltiples campos de la matemática, desde la Teoría Algebraica de Números al Análisis Complejo, pasando por la Teoría de Grupos, la Teoría de Galois, la Topología o la Geometría Algebraica. Por si eso fuera poco, las ramificaciones de los estudios en curvas elípticas han alcanzado a su vez problemas tan fascinantes como la factorización de enteros (gracias al trabajo de Lenstra, por ejemplo), la criptografía (por ejemplo, la que se usa en Whatsapp) o, como casi todo el mundo sabe, la demostración del Último Teorema de Fermat (Wiles y Wiles/Taylor).

Hoy vamos a hablar de un problema resuelto recientemente (la solución se ha publicado en arxiv el 28/07/2020) por parte de un grupo de cinco investigadores liderados por Maarten Derickx, del MIT (https://arxiv.org/pdf/2007.13929.pdf). La solución no está exenta de polémica, pues incluye la refutación de una solución previa de Jian Wang de la University of Southern California, nada sorprendente por otra parte -recordemos la azarosa historia de la demostración del Último Teorema de Fermat-, dado que, con tantas aristas como aparecen en estos problemas, este tipo de situaciones son habituales.

Para fijar ideas y hacerlo de la manera más simple posible, diremos que una curva elíptica sobre los números racionales es una ecuación del tipo
$$
E: Y^2 = X^3 + AX + B,
$$
donde \(A\) y \(B\) son enteros. En realidad la definición es más general, podemos tomar \(A\) y \(B\) racionales, y de hecho podemos considerar cualquier curva cúbica sin singularidades y, con algo de maquinaria algebraica, nos la llevaríamos a una ecuación de este tipo. Una propiedad fascinante de estas curvas es que poseen una estructura algebraica subyacente. Esto se deduce de que, si una recta pasa por dos puntos de la curva, necesariamente pasa por un tercero. Usando esta propiedad podemos definir una operación interna en el conjunto de puntos de la curva (denotado \(E({\mathbb Q})\)) que se escribe como suma (+), dado que es una operación conmutativa.

Para ser precisos, hay que decir que en realidad debemos considerar la clausura proyectiva de \(E\). O sea, añadir un punto en el infinito, denotado habitualmente \({\mathcal O}\) y que, de hecho, es el elemento neutro de la operación. Pero, en una primera aproximación, nos podemos quedar con la idea de que podemos sumar puntos y además hacerlo de manera geométrica.

Mordell demostró en los años 20 que, en esas condiciones, el conjunto \(E({\mathbb Q})\) es un grupo abeliano finitamente generado y, por tanto, admite una estructura
$$
E({\mathbb Q})= E_T({\mathbb Q}) \oplus {\mathbf Z}^r,
$$
donde \(E_T({\mathbb Q})\) es un conjunto finito (el subgrupo de torsión) y por tanto, producto de grupos cíclicos, y \({\mathbf Z}^r\) es la parte libre. Siguiendo la nomenclatura tradicional de grupos, a \(r\) se le denomina el rango de la curva.

Años después, Weil generalizó el resultado para probar que, en realidad, si considerábamos que los coeficientes de la curva y las coordenadas de los puntos pertenecían a un cuerpo de números (o sea, a una extensión algebraica finita de \({\mathbb Q})\) cualquiera, el resultado seguía siendo cierto. En realidad, Weil generalizó el resultado de manera mucho más fuerte, incluyendo variedades de dimensión mayor que admiten este tipo de estructuras (variedades abelianas), pero no entraremos en eso. Este teorema (conocido ahora como Teorema de Mordell-Weil) es la piedra angular de los problemas que nos interesan.

Poco sabemos del rango de una curva elíptica. De hecho, uno de los grandes problemas abiertos del campo es demostrar que existe una cota para el rango de una curva elíptica sobre \({\mathbb Q}\). Sabemos que existen curvas de rango mayor o igual que \(28\), y que, estadísticamente, las curvas elípticas que no tienen rango \(0\) o \(1\) son poco frecuentes. Pero no disponemos de resultados generales cerrados, a pesar de la gran cantidad de gente que trabaja en estos asuntos. Por supuesto, del caso de cuerpos de números ni hablamos. Os pongo una de rango 20, para que os entretengáis (ejemplo de Elkies/Klagsburn):
$$
Y^2 + XY + Y = X^3 − X^2 − 244537673336319601463803487168961769270757573821859853707X + 961710182053183034546222979258806817743270682028964434238957830989898438151121499931.
$$

De la torsión, en cambio, tenemos bastante más información. El primer gran resultado vino de la mano de Mazur, a finales de los 70, que demostró que, sobre los racionales, el grupo de torsión tiene exactamente 15 posibilidades, en concreto:
$$
\begin{array}{rcl}
{\mathcal C}_n && n=1,2,…,10,12, \\
{\mathcal C}_2 \times {\mathcal C}_n && n=2,4,6,8,
\end{array}
$$
donde denotamos por \({\mathcal C}_n\) el grupo cíclico de \(n\) elementos.

Quince años nos llevó que Kenku/Momose y Kamienny desvelaran el resultado equivalente para cuerpos cuadráticos (extensiones de grado 2), en cuyo caso la lista sube a 26 posibilidades:
$$
\begin{array}{rcl}
{\mathcal C}_n && n=1,2,…,16,18, \\
{\mathcal C}_2 \times {\mathcal C}_n && n=2,4,6,8,10,12, \\
{\mathcal C}_3 \times {\mathcal C}_n && n=3,6, \\
{\mathcal C}_4 \times {\mathcal C}_4. &&
\end{array}
$$

Y ha sido solamente este verano, aglutinando muchos resultados parciales que comenzaron en los 90, cuando Derickx y sus colaboradores han dado finalmente la lista completa para cuerpos cúbicos, curiosamente también con 26 opciones:
$$
\begin{array}{rcl}
{\mathcal C}_n && n=1,2,…,16,18,20,21, \\
{\mathcal C}_2 \times {\mathcal C}_n && n=2,4,6,8,10,12,14. \\
\end{array}
$$

La dificultad de estos resultados radica en que estudiar los posibles grupos de torsión implica estudiar otros objetos, llamados curvas modulares (y sus cocientes), y concretamente, saber cuándo estas curvas tienen puntos. Son cuestiones en general muy complicadas de Geometría Aritmética, que es el cruce mendeliano entre la Teoría de Números y la Geometría Algebraica.

Entre cuerpos cúbicos y cuadráticos, sin embargo, hay que mencionar un resultado realmente impresionante que vio la luz, a mediados de los 90, debido a Merel. Este resultado, denominado Teorema de Acotación Global, establece que, para cualquier extensión algebraica finita de \({\mathbb Q}\) de grado \(d\), el tamaño del grupo de torsión se puede acotar por una constante que solo depende de \(d\). Aunque la cota es explícita, está muy lejos de ser óptima (y de hecho se ha mejorado bastante desde que Merel publicó su resultado). Este resultado culminó muchos años de búsqueda colectiva y tuvo lo que podríamos llamar un final redondo: la demostración de la conjetura que toda la comunidad daba como cierta. Sin embargo, como vemos, para entender con precisión y detalle qué sucede en los subgrupos de torsión de las curvas elípticas sobre cuerpos de números aún nos queda un largo camino por recorrer. Pero gracias a Derickx y su grupo, este camino es un paso menos largo.