Ramanujan y la factorización de números

De entre los números enteros, los números primos, cuyos únicos divisores son el uno y el propio número, se sitúan a la cabeza del interés matemático. El matemático indio Srinivasa Ramanujan inició el estudio de los números que podemos situar en el polo opuesto a los primos, a los que él llamó números «altamente compuestos». Este año se cumplen cien años de la muerte Ramanujan, del que John Littlewood afirmó: «Cada número es amigo personal de Ramanujan». No es pues raro que fuera él quien inició el estudio de los números altamente compuestos y sus propiedades. La escasez de divisores que tiene un primo se torna riqueza en uno altamente compuesto.

Según Ramanujan, un número altamente compuesto es aquel cuyo número de divisores excede al de cualquiera de sus predecesores. Así, 12 sería un número altamente compuesto, pues tiene seis divisores: 1,2,3,4,6,12, más que cualquier otro número menor que 12. El número 16 no sería, sin embargo, altamente compuesto, pues tiene cinco divisores: 1,2,4,8,16 y hay números menores que 16 con más divisores ―el 12, por ejemplo―. Ramanujan encontró numerosas propiedades de los números altamente compuestos (véase [1]); he aquí algunas de ellas: excepción hecha del 4 y del 36, en la descomposición de un número altamente compuesto en sus factores primos, ordenados en orden creciente, los exponentes de los factores van decreciendo o son iguales; el último de esos exponentes, el que corresponde al número primo mayor, vale siempre 1. El número 5040, con 60 divisores, es altamente compuesto; si consideramos su descomposición en factores primos \(5040=2^4\times 3^2\times 5\times 7\), observamos la propiedad que estableció Ramanujan: los exponentes 4,2,1,1 van decreciente o son iguales, siendo el último de ellos igual a 1. Por cierto, este número 5040 fue considera por Platón como en sus Leyes, como ideal para el número de ciudadanos en una ciudad, precisamente por su carácter altamente compuesto: «En lo que hace a los números, todo legislador debe haber comprendido, por lo menos, qué número y de qué tipo sería el más útil para todas las ciudades. Elijamos pues el que posee en sí la mayor cantidad de divisiones sucesivas. La serie numérica en su conjunto tiene todos los cortes para todo, pero el número de los cinco mil cuarenta no podría dividirse en más de cincuenta y nueve divisiones, de manera sucesiva de uno a diez, para la guerra y todo lo que en la paz está relacionado con tratos y contratos, los tributos y las distribuciones» (Platón, Leyes, 737e-738a).

Ramanujan contagió a Hardy su pasión por los números con muchos divisores. En un artículo que escribieron juntos (véase [2]) demostraron la razón por la que los números con muchos divisores de tamaño comparativamente menor ―como por ejemplo el \(1200=2^4\times 3\times 5^2\)― son tan escasos. «Este hecho puede ser verificado por cualquiera que tenga por costumbre factorizar números ―escribieron Hardy y Ramanujan―, tales como las matrículas de taxis o los números de tren, que llamen su atención en un momento de ocio. El objeto de este artículo es aportar la explicación matemática de este hecho».

En general, el número de factores primos distintos de un número puede variar mucho aún entre números muy parecidos. Así, el número 2.042.040  tiene 7 factores primos distintos pues \(2.042.040=2^3\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\); mientras que el número que le sigue, el 2.042.041, sólo tiene un factor primo, pues \(2.042.041=1429^2\) y 1429 es un número primo. Lo que Hardy y Ramanujan demostraron en su artículo es que «casi» todos los números tienen un número de factores primos parecido al logaritmo del logaritmo del propio número: si llamamos \(n\) al número en cuestión, su número de divisores será «casi con toda seguridad» igual, más o menos, a \(\log \log n\) ―esa expresión «casi con toda seguridad» tiene un sentido preciso que no es necesario concretar aquí―. La expresión \(\log \log n\) va creciendo conforme lo hace el número \(n\), pero de forma extremadamente lenta ―por ejemplo, si \(n\) vale un cuatrillón, \(\log \log n\) vale poco más de 4―; eso explica por qué son tan escasos los números que tienen muchos divisores de tamaño comparativamente pequeño. Ese trabajo de Hardy y Ramanujan daría con el tiempo origen a la teoría probabilística de números.

Referencias

[1] S. Ramanujan, Highly composite numbers, Proc. London Math. Soc. Series 2. 14: 347–409, 1915.

[2] G.H. Hardy, S. Ramanujan, The normal number of prime factors of a number n, Quart. J. Math., 48, 76-92, 1917.

[3] Antonio J. Durán, El ojo de Shiva, el sueño de Mahoma, Simbad… y los números, Destino, Barcelona, 2012.