Publicamos la solución al divertimento de la primera variación sobre el Hotel de Hilbert. Gracias a Jaime Benabent, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Antonio Navas por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Un hotel tiene infinitas habitaciones numeradas por todos los enteros positivos, de modo que la habitación \(n\) está en la misma planta que las habitaciones \(3n+1\) y \(n+10\). ¿Cuántas plantas tiene el hotel?
(Nota: se pregunta por el número máximo de plantas.)
Solución:
El hotel tiene tres plantas. En efecto, como las habitaciones \(n\) y \(n+10\) ocupan la misma nos podemos fijar en las unidades de cada número de habitación y trabajar módulo \(10\). En ese caso, usando que las habitaciones \(n\) y \(3n+1\) también comparten planta, podemos considerar la aplicación \(f:\{0,\ldots,9\}\rightarrow\mathbb{N}\,:\,x\mapsto 3x+1\) e ir tomando restos módulo 10.
Por ejemplo, \(f(1)=4\), \(f(4)=13\), \(f(3)=10\) y \(f(0)=1\), por lo que todas las habitaciones acabadas en \(1\), \(3\), \(4\) y \(0\) están en la misma planta. Análogamente, las acabadas en \(2\) y \(7\) están en la misma también y las acabadas en \(5\), \(6\), \(8\) y \(9\) en otra.
Por supuesto, nada impide que, por ejemplo, las habitaciones \(1\) y \(2\) compartan planta, reduciendo así su cantidad en el hotel, pero sabemos que como mucho habrá tres.
Usando lenguaje algo más técnico, se podría haber usado que «compartir planta» es una relación de equivalencia en el conjunto de enteros positivos y ver que en dicho conjunto \(\mathbb{Z}_{>0}\) hay tres clases de equivalencia.
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