Ecuación exponencial

Delantal:

En general, los lectores de este blog sabrán realmente lo que es una función exponencial desde hace tiempo, aunque recientemente hayan cobrado mucha relevancia mediática (ver la foto que acompaña a la entrada). Y como ver no significa aprender, a pesar de ello en los medios de comunicación se siguen obteniendo conclusiones erróneas o utilizando mal la expresión «aumentar exponencialmente» sin terminar de comprender la angustiosa y eterna positividad de las derivadas de dicha función, si nos ponemos un poco poéticos.

Quizá divertimentos como el de esta quincena ayuden a desentrañar las sutilezas de la exponenciación (explicadas en los, para muchos, lejanos años de la enseñanza secundaria) y a mejorar nuestro entendimiento de las gráficas, omnipresentes en los medios de comunicación sin que por ello se usen bien.

Divertimento:

Es bien conocido que existe una jerarquía establecida por convenio entre las operaciones algebraicas de modo que cuando aparece un cálculo de números ligados por esas operaciones, las cuentas hay que hacerlas en un cierto orden. Ese orden se altera introduciendo paréntesis, de modo que primero se efectúan estos, luego las potencias, después los productos y cocientes y por último las sumas y restas.

Cuando una operación, por ejemplo la potenciación, no tiene la propiedad asociativa, el orden de las operaciones debe indicarse colocando paréntesis. Así, no hay ambigüedad en \((2^3)^2=64\) o \(2^{(3^2)}=512\), mientras que podría haber confusión en una expresión como \(2^{3^2}\).

En este divertimento planteamos las ecuaciones

$$(x^x)^2=b,\qquad x^{(x^2)}=b,\qquad b>1,$$

y preguntamos que se discuta según el valor de \(b\), cuál de las soluciones positivas de las dos ecuaciones es mayor.

Solución:

Envía tus soluciones, hasta el domingo 29 de noviembre, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 2 de diciembre. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.