Las Matemáticas son suficientes para mí.

En Charendon, André Bloch fue paciente del reconocido psiquiatra francés Henri Baruk. En su libro, Des hommes comme nous, Baruk escribe sobre Bloch:

Cada día durante cuarenta años este hombre se sentaba en su mesa instalada en un pequeño pasillo que conducía a su habitación, sin levantarse excepto para comer, ya por la tarde. Pasaba su tiempo escribiendo signos algebraicos o matemáticos en trozos de papel, o dedicado a leer y anotar libros de matemáticas cuyo nivel era el de los grandes especialistas en este campo… A las seis y media cerraba sus cuadernos y libros, cenaba, e inmediatamente volvía a su habitación, caía en su cama y dormía hasta la mañana siguiente. Mientras que otros pacientes constantemente reclamaban su libertad, él era completamente feliz estudiando sus ecuaciones y manteniendo su correspondencia al día.

Cuando su médico le aconsejaba: «Debes salir al patio a pasear como los demás», él contestaba: «Las Matemáticas son suficientes para mí».

Era extremadamente educado, preocupándose por sus enfermeras que le estimaban mucho: «Un paciente ideal». Desde Charendon mantuvo correspondencia con muchos matemáticos, especialmente con G. Valiron, H. Cartan, J. Hadamard, G. Pólya, E. Picard, P. Montel y G. Mittag-Leffler. 

El principal resultado de Bloch es realmente sorprendente. Se considera el conjunto de las funciones \(f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots\) analíticas para \(|z|<1\). Se tiene que \(f(0)=0\) y \(f'(0)=1\), de manera que \(f\) transforma un pequeño entorno de \(0\) biyectivamente en otro pequeño entorno de \(0\). Por tanto existe una serie de potencias \(g(z)=z+b_2z^2+\cdots\) convergente en un pequeño entorno de \(0\) de forma que \(f(g(z))=z\). Uno podría imaginar que el radio de convergencia de \(g(z)\) va a ser mayor que una cierta cantidad, digamos \(1/20\), cualquiera que sea \(f\) en las condiciones mencionadas. Pero esto no es cierto: la función $$f(z)=\frac{\varepsilon}{2}\Bigl[\Bigl(\frac{1+z}{1-z}\Bigr)^{1/\varepsilon}-1\Bigr]=z+\frac{1}{\varepsilon}z^2+\cdots$$ es analítica en \(|z|<1\) y no toma el valor \(-\varepsilon/2\), de manera que el radio de convergencia de \(g\) en este caso es \(<\varepsilon/2\). 

Lo que prueba Bloch es que sí que existe un disco de radio \(>1/72\), pero no necesariamente con centro en el origen, de forma que en ese disco existe la inversa de \(f\) y es analítica.

Teorema (Bloch) Existe una constante \(b>\frac{1}{72}\) con la siguiente propiedad: si \(f\) es una función holomorfa en el disco unidad \(|z|< 1\) tal que \(|f'(0)|=1\), entonces existe un disco de radio \(b\) y una función analítica \(\varphi\) definida en este disco, tal que \(f(\varphi(z))=z\) para todo \(z\) en este disco.

La cota \(\frac{1}{72}\) no es la mejor posible. El número \(B\) definido como el supremo de todos los \(b\) para los que el teorema es cierto se llama la constante de Bloch. Las mejores cotas conocidas para \(B\) son $$0.433025\approx\frac{\sqrt{3}}{4}+2\cdot 10^{-4}\le B\le \frac{\Gamma(1/3)\Gamma(11/12)}{\Gamma(1/4)\sqrt{1+\sqrt{3}}}\approx 0.471862$$ La cota superior se debe a Ahlfors y Grunsky, quienes conjeturan que su cota superior es el verdadero valor de \(B\).

Bloch es también el origen de un principio filosófico en Matemáticas: $$\text{ Nihil est in infinito quod non prius fueris in finito.}$$ Nada ocurre en lo infinito que no suceda antes en lo finito.

Por ejemplo, su teorema es la versión finita del teorema de Valiron:

Teorema (Valiron) Si \(f\) es una función entera no constante, existe un disco \(D\) de radio arbitrariamente grande y una función analítica \(\varphi\) en \(D\) tal que \(f(\varphi(z))=z\) para todo \(z\in D\). 

Y el teorema de Picard

Teorema (Picard) Si \(f\) tiene una singularidad esencial en \(a\), entonces en cada abierto que contenga a \(a\) la función \(f\) toma todos los valores complejos infinitas veces en ese abierto, excepto a lo más por un solo valor.

corresponde por el principio de Bloch con

Teorema (Schottky) Para cada \(M>0\) y  \(r\in(0,1)\) existe una constante \(C>0\) tal que se cumple la siguiente implicación: Si \(f\) es holomorfa en el disco unidad, \(|f(0)|\le M\) y el rango de \(f\) omite el valor \(0\) y el \(1\), entonces \(\sup_{|z|\le r}|f(z)|\le C\).

¿Por qué estaba Bloch en un manicomio? La historia que conocemos viene de varias fuentes.

George Valiron, en 1949, comentó sobre la vida de André Bloch lo siguiente:

Bloch nació en Besançon, Francia, el 20 noviembre de 1893. Carrus, profesor de Análisis, había reconocido el talento de André y sugirió que él y su hermano Georges, nacido menos de once meses después que él, fueran a la Escuela Politécnica. El año siguiente, en octubre de 1910, tuve a ambos hermanos en mi clase. André mostraba ya su interés en las propiedades abstractas a las que después contribuyó tan significativamente. Pero no hablaba apenas y no se preocupaba de prepararse para los exámenes. Georges era mas comunicativo y quizás tan buen matemático como su hermano. Georges era el primero de la clase y claramente el mejor en los exámenes escritos. André era el último en mi clase de once estudiantes. Pero tuvo suerte en tener a Vessiot en el examen oral. Vessiot reconoció la aptitud de André y le dio 19 de 20 puntos en el examen oral. En octubre él y su hermano ingresaron en la Escuela Politécnica, André con el número 151 y Georges el 229. En 1914 tuvieron que dejarlo por la guerra.

Hacia 1920 o 1921, supe del drama que hizo un recluso de André. Lo supe por un antiguo alumno en Besançon. El hermano de André, Georges, había sido dispensado del servicio militar y había regresado a la Politécnica el 7 de octubre de 1917. André tenía un permiso de convalecencia hacia el final de 1917. El 17 de noviembre de 1917, al final de este permiso y tres días antes de su 24 cumpleaños, durante una crisis de locura mató a su hermano Georges, a su tío y a su tía.

Declarado enfermo mental, fue confinado en la «casa de salud» en San Mauricio, donde permaneció hasta su muerte el 11 de octubre de 1948.

Información adicional sobre la vida de Bloch la tenemos gracias a H. Cartan y J. Ferrand. Lo que sigue es parte de su relato:

André Bloch nació el 20 de noviembre de 1893 en Besançon. Sus padres eran de origen alsaciano, su padre era relojero en la ciudad; sus padres murieron prematuramente. Se crió en Besançon con sus dos hermanos, André fue un estudiante brillante en el Liceo local, y en 1912 pasó el competitivo examen de ingreso en la Escuela Politécnica al mismo tiempo que su hermano menor Georges, nacido el 13 de octubre de 1894.

Después de un año de servicio militar, seguido de su primer año de estudio en la Escuela Politécnica los dos hermanos fueron movilizados en 1914. André fue destinado al cuartel del General De Castelnau en Nancy como teniente segundo en la artillería. Después de meses en el frente, cayó desde lo alto de un puesto de observación durante un bombardeo. El grave shock implicó varias estancias hospitalarias, interrumpidas por periodos de convalecencia, y lo convirtió en no apto para el servicio activo. El hermano, Georges, recibió una herida en la cabeza perdiendo un ojo, en octubre de 1917 retomó sus estudios, que habían sido interrumpidos por la guerra.

En este periodo el incomprensible drama descrito por Valiron tuvo lugar: el 17 de noviembre de 1917, en el curso de una comida en el apartamento de la familia en el Boulevard Courcelles en Paris, André mató a Georges (apuñalándolo con un cuchillo, de acuerdo con los rumores entre los compañeros de estudios de André), así como a su tío y su tía (cuyos nombres no publicamos por consideración a la familia). Entonces salió corriendo y gritando a la calle y se dejó arrestar sin resistencia. (Parece que este penoso asunto fue callado en el momento y no se publicó en la prensa. Incluso los compañeros de los hermanos Bloch no conocían los detalles del drama. Hay que tener en cuenta que Francia estaba en guerra y el asesino era un oficial de permiso.) Juzgado como no responsable de sus actos André fue confinado en el hospital psiquiátrico Saint-Maurice, también llamado la casa Charenton, en los suburbios de Paris. No abandonó el hospital por 31 años: el 21 de agosto de 1948, enfermo de leucemia, entró en el hospital Sainte-Anne en Paris para una operación. Murió allí el 11 de octubre de 1948, justo cuando el matemático Benjamin Amira de Jerusalen había venido a visitarlo.

¿Cuáles fueron sus motivaciones? La voz mas acreditada sobre este tema es la de su médico. De acuerdo con él Bloch exhibía una racionalidad morbosa. Mató a sus familiares para llevar a cabo lo que él veía como un deber de eugenesia. Tenía que eliminar una rama de su familia que consideraba defectuosa. Mucho después, al final de su vida, su otro hermano menor vino a visitarlo desde México. André preguntó detalladamente sobre toda la familia. Pero al día siguiente, le dijo a Baruk: Es una cuestión de lógica matemática. Ha habido enfermedades mentales en mi familia. La destrucción de la totalidad de la rama se sigue como consecuencia. Comencé mi tarea en el momento de aquella famosa comida. Todavía no he acabado. Quería saber como iban las cosas. Ante la protesta del doctor, añadió — usas un lenguaje emocional. Por encima están la Matemática y sus leyes. Sabes bien que mi filosofía esta inspirada por el pragmatismo y la racionalidad absoluta. He aplicado el ejemplo y los principios de una célebre matemática de Alejandría, Hypatia.

Cartan y Ferrand se preguntan a qué podría referirse Bloch al hablar de Hypatia. Nada hay que sepamos de Hypatia que la pueda relacionar con esta locura. Ellos concluyen que quizás Bloch se refiere a un pasaje de una novela sobre la vida de Hypatia públicada en 1853 y debida a C. Kingsley. Escrita esta novela unos 1400 años después de la muerte de Hypatia, lo que dijera Kingsley sobre los sentimientos de Hypatia no tiene ninguna credibilidad. 

En una cosa tenía razón: había enfermos mentales en su familia.

 

Para saber más.

He usado varias fuentes, un artículo en la revista Mathematical Intelligencer, desgraciadamente secuestrado por una editorial:

Douglas M. Campbell, Beauty and the beast: the strange case of André Bloch, Math. Intelligencer 7 (1985) 36–38. (https://doi.org/10.1007/BF03024484)

Unos años más tarde en la misma revista Henri Cartan y Jacqueline Ferrand aportan más información, aclarando algunos puntos del artículo de Campbell:

Henri Cartan y Jacqueline Ferrand, The case of André Bloch, Math. Intelligencer 10 (1988) 23–26. (https://doi.org/10.1007/BF03023847)

Más completo, conteniendo además una lista de trabajos publicados por Bloch y de acceso libre, solo que en francés, tenemos

Henri Cartan y Jacqueline Ferrand, Le cas André Bloch, Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, 9, Univ. Paris VI, Paris (1988) 210–219.

También he usado el libro

Reuben Hersh y Vera John-Steiner, Loving + hating mathematics, Princeton University Press, Princeton NJ, 2011 Challenging the myths of mathematical life.

Hay un video (en un inglés realmente fácil de entender) que trata de explicar el contexto que puede hacer más fácil entender las motivaciones de Bloch: Muder by Numbers.

La imagen destacada es en esta ocasión una de las composiciones de Jim Denevan. Trata de ilustrar el teorema de Bloch.