The workings
Last fortnight we proposed to our dear readers a very cheap activity, without much difficulty and that could be done in any home (whether there were stackable cubes or not is another story). This fortnight, however, to make up for it, we are going to talk about something that to a greater or lesser extent fails all the above criteria: the flying trapeze.
Originally conceived as a gymnastic apparatus, like parallel bars or rings, the trapeze was a recurrent object used in the circus since its origins in the 18th century. It was the Frenchman Jules Léotard (after whom the leotards are named, by the way) who gave it the aesthetics (and the difficulty) of the movement. In addition to the apparatus itself, we can find much more mathematics in analysing the coordination of the movements, the geometry of the jumps and flights, the balance of the forces… In case the divertimento is not enough, we propose this exercise to start practising (the mathematical approach, of course).
The fun
Given two positive integers \(a\) and \(b\), the relations existing between their different Pythagorean means (arithmetic, geometric and harmonic) and their quadratic mean are well known, and different constructions are also known (this one, for example) in which, given two segments of lengths \(a\) and \(b\), they draw segments whose lengths have these averages, and which make the relations we mentioned before intuitive. We remember that these averages are defined respectively as
$$m_a=\frac{a+b}{2},\,m_g=\sqrt{ab},\,m_h=\frac{2ab}{a+b}\, \text{y}\, m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},$$
always having \(m_h\leq m_g\leq m_a\leq m_c\).
In this divertimento we consider the bases of any trapezoid, of lenghts \(b\) and \(B\), and we propose:
- Prove that the segment parallel to the bases through the point of intersection of the diagonals of the trapezoid is the harmonic mean of \(b\) and \(B\).
- Find the ratio that there must be between the lengths of the bases so that the segment parallel to the bases that measures the arithmetic mean of \(b\) and \(B\) divides the trapezoid into two others, one of which has twice the area of the other.
- Find the ratio that there must be between the lengths of the bases so that the segment parallel to them that measures the quadratic mean of \(b\) and \(B\) divides the trapezoid into two trapezoids of equal area.
.
.
.
.
.
.
Solution
We encourage the readers to try to solve the divertimento for themselves. Whether you succeed or not, you can always consult the solution in this link.
Estaba dibujando el primer apartado y creo que se necesita que el trapecio sea rectángulo. ¿Pudiera ser?
Error manejando el GeoGebra!!
En el tercer apartado supongo que se refiere a dividir al trapecio en dos trapecios de igual área, no iguales.
En el caso de igualdad se trataría de un paralelogramo y la relación es uno. De hecho pensándolo bien igual área implica ser paralelogramo pues en caso contrario por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica este segmento quedaría mas cerca del lado menor que el segmento cuya longitud es la media aritmética el cuál deja al paralelogramo que contiene al lado menor con menor área que el que contiene al lado mayor. Incluso más sencillo, por semejanza igual área implica iguales y esto implica paralelogramo directamente. ¿Me equivoco?
Hola de nuevo, Jaime:
En la primera frase no te equivocas, en las dos siguientes sí. Si movemos el segmento paralelo de una base a otra obtenemos dos trapecios distintos cuyas áreas pasan de ser cero a la del trapecio original y viceversa. Por el teorema del valor intermedio, en algún momento serán iguales (y no depende de cómo sea el trapecio).
Me da la sensación de que estás asumiendo que partes de un paralelogramo y no de un trapecio.
Tienes razón, me he equivocado; estaba trabajando con la media geométrica en lugar de la cuadrática, pero creo que el argumento para la media geométrica que he planteado es correcto aunque no sea lo que pida el enunciado.
En la primera afirmación lo que hacía era, como tú dices, mover el segmento paralelo a las bases; pero como trataba con la geométrica este iba desde la base de lado menor hasta la paralela con longitud media aritmética, pues $m_a \geq m_g$, y no hasta la otra base. Es fácil ver que este segmento está exactamente la mitad y de ahí se sigue que igualar las medias es condición necesaria y al hacerlo y obtenía el paraleogramo y veía que además era suficiente.
Pero claro, como trabajamos con la cuadrática tenemos $m_c \geq m_a$ y aquí si que aplicando tu argumento desde el segmento paralelo a las bases con la media aritmética a la base mayor vemos que siempre hay solución independientemente de las bases.
La segunda afirmación de que si dos figuras en el plano son semejantes y tienen el mismo área entonces son la misma, en el sentido de que existe un movimiento de rotación y traslación que lleva la una en la otra, si que creo que es correcta, quizá me ha faltado mencionar que el corte paralelo a las bases divide a al trapecio en dos trapecios semejantes al primero.
Vale, fallo mio, es que en la segunda afirmación estoy usando que las figuras son semejantes y esto solo ocurre si el corte es justamente por la mitad. Me he hecho un lio.
De hecho no, ocurre con la paralela de longitud la media geométrica. Estoy mareando un rato al personal.
Un poco sí, jeje. Eso sí, los dos que resulten serán semejantes entre ellos pero no al original, ¿no?
En cualquier caso, después de aclarar qué ocurre con la media geométrica, ahora solo te faltan las otras tres. Eso mejor nos lo mandas por correo :-).
Sí, Jaime, gracias por el aviso. Ya está corregido.