{"id":18797,"date":"2023-12-18T06:30:00","date_gmt":"2023-12-18T05:30:00","guid":{"rendered":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/?p=18797"},"modified":"2023-12-15T20:16:41","modified_gmt":"2023-12-15T19:16:41","slug":"solucion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/2023\/12\/solucion\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n: Proyectos del Ministerio"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Publicamos la soluci\u00f3n al divertimento de <a href=\"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/2023\/12\/proyectos-del-ministerio\/\">los proyectos del Ministerio<\/a>. Muchas gracias a F. Dami\u00e1n Aranda Ballesteros, Juan Miguel Exp\u00f3sito, Marcos Jim\u00e9nez y Manuel Zambrana, Antonio Medinilla Gar\u00f3fano y David Ramos Orozco, Julio Ojeda Infantes y Pablo Puerto Mu\u00f1oz y Rub\u00e9n R\u00edos Mallqui por las soluciones que nos han enviado. Se ha recibido una respuesta parcial, de Rafael Benzal.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Divertimento<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A los proyectos de investigaci\u00f3n de cierto departamento de cierta universidad les ha sobrado algo de dinero del concedido en un proyecto del Ministerio. Como a final de a\u00f1o deben devolver dicho remanente (y pueden ver reducida su financiaci\u00f3n en convocatorias posteriores), deciden gastarlo \u00edntegramente, y en libros. Resulta que, para conseguir gastar exactamente todo el dinero, pueden elegir entre:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Comprar cierta cantidad de ejemplares de tapa blanda.<\/li>\n\n\n\n<li>Comprar cierta cantidad de ejemplares de tapa dura.<\/li>\n\n\n\n<li>Comprar varios ejemplares de tapa dura y varios de tapa blanda, de 5 formas distintas.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los precios de los libros de tapa blanda y dura son 19 y 31 euros, respectivamente. \u00bfCu\u00e1l es la cantidad que les faltaba por gastar?<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Soluci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sean \\(x\\) e \\(y\\), respectivamente, la cantidad de libros de tapa blanda y de tapa dura que se compran, con coste total igual a \\(C\\), de modo que \\(19x+31y=C\\).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Como es posible gastar la cantidad \\(C\\) solo con libros de uno de los dos tipos, entonces \\(C\\) es divisible por \\(19\\) y por \\(31\\). Sea \\(C=19 \\cdot 31 \\cdot C&#8217;\\). Por consiguiente,<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">$$19x+31y=19 \\cdot 31 \\cdot C&#8217;.$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Como \\(19\\) y \\(31\\) son primos, se deduce que \\(x\\) es divisible por \\(31\\) e \\(y\\), por \\(19\\), y podemos escribir<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">$$19\\cdot 31 x&#8217;+31\\cdot 19 y&#8217;=19 \\cdot 31 \\cdot C&#8217;,$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">es decir, \\(x&#8217;+y&#8217;=C&#8217;\\), siendo \\(x&#8217;\\) e \\(y&#8217;\\) enteros no negativos cualesquiera. Seg\u00fan el enunciado, hay siete soluciones \\((x&#8217;,y&#8217;)\\) para la ecuaci\u00f3n anterior: una en la que \\(x&#8217;=0\\), otra en la que \\(y&#8217;=0\\), y otras cinco en las que \\(x&#8217;\\) e \\(y&#8217;\\) son positivos. Se deduce entonces que \\(C&#8217;=6\\), y por tanto,<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">$$C=31 \\cdot 19 \\cdot C&#8217; =31 \\cdot 19 \\cdot 6=3534.$$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div class=\"mh-excerpt\"><p>Publicamos la soluci\u00f3n al divertimento de los proyectos del Ministerio. Muchas gracias a F. 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