{"id":21486,"date":"2025-05-29T01:07:42","date_gmt":"2025-05-28T23:07:42","guid":{"rendered":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/?p=21486"},"modified":"2026-04-05T16:39:03","modified_gmt":"2026-04-05T14:39:03","slug":"fourier-i","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/2025\/05\/fourier-i\/","title":{"rendered":"Fourier (I)"},"content":{"rendered":"

Esta entrada y las dos siguientes tienen que ver con las series de Fourier, la transformada de Fourier, algunos conceptos afines y sus aplicaciones. En esta primera parte, hablaremos de Joseph Fourier y sus aportaciones y de una cuesti\u00f3n que ha motivado mucho trabajo a lo largo de muchos a\u00f1os: el problema de la convergencia de una serie de Fourier.<\/p>\n

\"\"
Fig. 1 – J. Fourier<\/figcaption><\/figure>\n

Joseph Fourier<\/h3>\n

Fourier naci\u00f3 en 1768 en Auxerre en una familia con grandes dificultades econ\u00f3micas, quedando hu\u00e9rfano a los ocho a\u00f1os. Fue adoptado por el organista Joseph Pallais y, alg\u00fan tiempo despu\u00e9s, ingres\u00f3 en la Escuela Superior Benedictina, orient\u00e1ndose inicialmente a la carrera religiosa y despu\u00e9s hacia la M\u00fasica y las Matem\u00e1ticas, donde al parecer destac\u00f3 casi desde el primer momento. Se cuenta que sol\u00eda coleccionar cabos de velas para poder estudiar por la noche en solitario.<\/p>\n

Fourier particip\u00f3 en la Revoluci\u00f3n Francesa. Posteriormente se incorpor\u00f3 a la Escuela Normal Superior de Par\u00eds bajo la tutela de Lagrange y Laplace y de all\u00ed pas\u00f3 a la prestigiosa \u00c9cole Polytechnique, donde obtuvo una plaza de profesor.<\/p>\n

En 1798, recibi\u00f3 una citaci\u00f3n del Ministerio del Interior con el siguiente texto:<\/p>\n

“Ciudadano: el directorio ejecutivo, que tiene una necesidad particular de sus talentos y de su fervor, acaba de disponer de usted por el bien del servicio p\u00fablico. Debe prepararse y estar listo para partir apenas reciba la orden”.<\/p>\n

Dos meses despu\u00e9s, parti\u00f3 hacia Egipto, reclutado por Napole\u00f3n Bonaparte junto a m\u00e1s de 100 miembros del mundo acad\u00e9mico y una multitud de soldados. Pocos meses despu\u00e9s, fue designado secretario perpetuo del Instituto de Egipto. Durante su estancia en dicho pa\u00eds, elabor\u00f3 numerosas memorias de distinto tipo, dirigi\u00f3 una comisi\u00f3n de exploraci\u00f3n y acumul\u00f3 una gran colecci\u00f3n de objetos, incluyendo una copia de la piedra de Rosetta.<\/p>\n

De regreso a Francia en 1801, Napole\u00f3n Bonaparte le nombr\u00f3 prefecto del Departamento de Is\u00e8re. Fue en la capital, Grenoble, donde se interes\u00f3 en profundidad por la propagaci\u00f3n del calor, su modelado matem\u00e1tico y la resoluci\u00f3n de las ecuaciones, deducida con series trigonom\u00e9tricas. Seg\u00fan se dice, estuvo inicialmente preocupado por responder a Napole\u00f3n una pregunta muy concreta: \u00bfCu\u00e1nto tiempo hay que dejar enfriar un ca\u00f1\u00f3n entre un disparo y otro para conseguir un funcionamiento correcto?<\/p>\n

\"\"
Fig. 2 – Napole\u00f3n Bonaparte<\/figcaption><\/figure>\n

Sus avances fueron inicialmente criticados por varios cient\u00edficos coet\u00e1neos (entre otros, sus tutores Lagrange y Laplace). Sin embargo, acabaron abri\u00e9ndose camino y puede decirse que constituyeron el verdadero inicio del estudio de las funciones, m\u00e1s all\u00e1 del marco de las que tienen una expresi\u00f3n anal\u00edtica.<\/p>\n

Las contribuciones m\u00e1s importantes de Fourier est\u00e1n contenidas en su “Teor\u00eda anal\u00edtica del calor”, publicada en 1822 en las M\u00e9moires de l’Acad\u00e9mie de Sciences<\/em>. En ella describe las dificultades que encontr\u00f3 su publicaci\u00f3n y, al mismo tiempo, menciona esperanzado lo siguiente: “Los retrasos en la publicaci\u00f3n de mi obra habr\u00e1n contribuido a hacerla m\u00e1s clara y completa”.<\/p>\n

Curiosamente, se puede considerar que Fourier fue el primer cient\u00edfico capaz de detectar lo que hoy se conoce como efecto invernadero y de buscar una explicaci\u00f3n.<\/p>\n

Efectivamente, calcul\u00f3 la temperatura que deb\u00eda tener un objeto del tama\u00f1o de la Tierra que estuviera a la misma distancia del Sol y encontr\u00f3 valores m\u00e1s bajos de los que se dan en nuestro planeta. Despu\u00e9s de reflexionar sobre posibles causas, lleg\u00f3 a la conclusi\u00f3n de que el origen estaba en la radiaci\u00f3n interestelar. Hoy sabemos que esta no tiene ni mucho menos tanta relevancia, pero no por eso deja de tener m\u00e9rito el an\u00e1lisis del problema.<\/p>\n

Las series<\/h3>\n

La idea central impulsada por Fourier fue representar cualquier funci\u00f3n como una suma infinita de funciones sinusoidales. Esto le permiti\u00f3 descomponer una se\u00f1al compleja en sus componentes de frecuencia.<\/p>\n

As\u00ed, las series de Fourier permiten representar una enorme cantidad de funciones definidas en un intervalo como una suma (en general infinita) de funciones que en cierto modo son elementales, f\u00e1ciles de manejar y de significado muy preciso.<\/p>\n

Por ejemplo, dada una cuerda que ocupa un intervalo que va de \\(x = 0\\) a \\(x = L\\) y est\u00e1 sujeta por los extremos, podemos imaginar que adopta perfiles de frecuencia \\(1, 2, 3 \\dots\\) correspondientes a las funciones \\(\\sin(\\pi x \/ L)\\), \\(\\sin(2\\pi x \/ L)\\), \\(\\sin(3\\pi x \/ L)\\), … (V\u00e9ase la Fig. 3.)<\/p>\n

\"\"
Fig. 3 – Ondas elementales en [0,L], con L=10<\/figcaption><\/figure>\n

Si queremos describir una vibraci\u00f3n m\u00e1s complicada, tiene sentido hacerlo expres\u00e1ndola como una combinaci\u00f3n lineal de perfiles “elementales”. De este modo, dir\u00edamos “cu\u00e1nto de \\(\\sin(\\pi x \/ L)\\)”, “cu\u00e1nto de \\(\\sin(2\\pi x \/ L)\\)”, etc. tiene la vibraci\u00f3n. L\u00f3gicamente, cabe imaginar la necesidad de que esta combinaci\u00f3n lineal sea infinita, si queremos que la familia sea realista.<\/p>\n

La lista de aplicaciones donde intervienen las series de Fourier es enorme y, de hecho, crece cada d\u00eda, v\u00e9ase por ejemplo [1]. Citemos brevemente algunas de ellas:<\/p>\n