Se observa que esto corresponde al caso de funciones peri\u00f3dicas definidas en toda la recta real.<\/p>\n Con car\u00e1cter general, dada \\(f : {\\bf R} \\to {\\bf R}\\) peri\u00f3dica de per\u00edodo \\(T\\) y (por ejemplo) continua, podemos escribir que coincide en un cierto sentido (en casi todo punto) con la correspondiente serie de Fourier: Cuando la funci\u00f3n no es peri\u00f3dica, tiene sentido interpretarla como l\u00edmite de funciones peri\u00f3dicas cuyos per\u00edodos tienden a \\(+\\infty\\). Tras un c\u00e1lculo formal, vemos que, en vez de un conjunto numerable de coeficientes \\(c_n\\) asociados a las frecuencias \\(\\omega_n := n\/T\\), obtenemos una funci\u00f3n \\(\\hat f = \\hat f(s)\\) que determina “cu\u00e1nto” interviene la frecuencia \\(s\\) en los valores que toma \\(f\\).<\/p>\n El paso al l\u00edmite cuando \\(T \\to +\\infty\\) conduce a la siguiente expresi\u00f3n La aplicaci\u00f3n \\(f \\mapsto \\hat{f}\\), que a cada \\(f\\) con ciertas propiedades de integrabilidad asocia la correspondiente \\(\\hat{f}\\), se denomina transformada de Fourier. Ser\u00e1 denominada \\({\\cal F}\\) en esta entrada.<\/p>\n Algunos ejemplos sencillos de transformada son los siguientes:<\/p>\n Sea \\(\\Pi(t) = 1\\) si \\(|t| < 1\/2\\) y \\(\\Pi(t) = 0\\) si \\(|t| > 1\/2\\) (la funci\u00f3n sombrero). Entonces \\(\\hat{\\Pi}(s) = \\sin(\\pi s)\/(\\pi s)\\) para todo \\(s \\in {\\bf R}\\).<\/p>\n<\/li>\n Pongamos ahora \\(\\Lambda(t) = 1 – |t|\\) si \\(|t| < 1\\) y \\(\\Lambda(t) = 0\\) si \\(|t| > 1\\) (la funci\u00f3n tri\u00e1ngulo). Entonces resulta que \\(\\hat\\Lambda(s) = (\\sin(\\pi s)\/(\\pi s))^2\\) en \\({\\bf R}\\).<\/p>\n<\/li>\n Para \\(G(t) := e^{-\\pi t^2}\\) (la funci\u00f3n gaussiana normalizada), tenemos \\(\\hat G = G\\), es decir, \\(\\hat G(s) := e^{-\\pi s^2}\\) para todo \\(s \\in {\\bf R}\\).<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n La aplicaci\u00f3n \\(f \\mapsto \\hat{f}\\) est\u00e1 bien definida en el espacio de las funciones integrables en \\({\\bf R}\\) y posee las propiedades siguientes:<\/p>\n Es lineal continua y biyectiva, con inversa \\({\\mathcal F}^{-1}\\), de modo que \\[({\\mathcal F}^{-1} g)(t) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} g(s) e^{2\\pi i st} \\,ds , \\quad t \\in {\\bf R}.\\]<\/p>\n<\/li>\n Si \\(f\\) es par o impar, lo mismo puede decirse de su transformada \\(\\hat f\\). Por otra parte, si \\(f\\) es par, \\(\\hat f\\) toma valores reales y si \\(f\\) es impar, \\(\\hat f\\) toma valores imaginarios puros.<\/p>\n<\/li>\n La trasformada de un producto coincide con la convoluci\u00f3n de las transformadas siempre que todas ellas existan. En otras palabras, \\[{\\mathcal F} (fg)(s) = (\\hat{f}*\\hat{g})(s) := \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\hat{f}(s-r) \\hat{g}(r) \\,dr , \\quad s \\in {\\bf R}.\\]<\/p>\n<\/li>\n Una propiedad totalmente an\u00e1loga puede enunciarse para la transformada inversa. Tambi\u00e9n es cierto por tanto que la transformada de una convoluci\u00f3n es el producto de las transformadas, es decir: \\[{\\mathcal F} (f*g)(s) = (\\hat{f}\\hat{g})(s) , \\quad s \\in {\\bf R}.\\] Esta \u00faltima igualdad es muy importante en las aplicaciones. En efecto, es natural interpretar \\(f*g\\) como una se\u00f1al \\(f\\) “contaminada” por un “ruido” \\(g\\); conocida \\(f*g\\) y calculada \\({\\mathcal F} (f*g)\\), una estimaci\u00f3n de \\(\\hat{g}\\) nos permitir\u00eda calcular al menos de manera aproximada \\(\\hat{f}\\) y despu\u00e9s \\(f\\).<\/p>\n<\/li>\n Siempre que tenga sentido, \\[ ({\\mathcal F} f’)(s) = 2\\pi i s \\hat{f}(s) , \\quad s \\in {\\bf R}.\\]<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n La transformada de Fourier tambi\u00e9n se puede definir en espacios de funciones de varias variables. De este modo, se convierte en una herramienta muy natural para estudiar la propagaci\u00f3n de ondas. Tambi\u00e9n resulta \u00fatil en mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, jugando un papel esencial por ejemplo en la determinaci\u00f3n de funciones de onda.<\/p>\n La transformada de Fourier posee aplicaciones en diversas \u00e1reas de las matem\u00e1ticas (teor\u00eda de n\u00fameros, combinatoria, c\u00e1lculo de probabilidades, estad\u00edstica, ecuaciones diferenciales), en f\u00edsica e ingenier\u00eda (procesamiento de se\u00f1ales, \u00f3ptica, mec\u00e1nica ondulatoria) y en otras ciencias.<\/p>\n En la pr\u00e1ctica, en las f\u00f3rmulas \\(\\hat f(s) = ({\\mathcal F}f)(s)\\) y \\(f(t) = ({\\mathcal F}^{-1}\\hat{f})(t)\\) las variables \\(t\\) y \\(s\\) suelen estar asociadas a las dimensiones del tiempo (segundos) y la frecuencia (hercios). Pero tambi\u00e9n podemos pensar en una funci\u00f3n definida en el dominio “espacial” (por ejemplo, la temperatura de una barra infinita idealizada) e intentar descomponer la misma atendiendo a las correspondientes frecuencias.<\/p>\n Mencionemos campos de trabajo donde la transformada cobra importancia:<\/p>\n En el contexto del procesamiento de se\u00f1ales, la transformada de Fourier se utiliza para interpretar se\u00f1ales en t\u00e9rminos de frecuencia. De este modo, se tiene acceso a una informaci\u00f3n que no resulta clara en el dominio temporal; por ejemplo, el ancho de banda donde se concentra la energ\u00eda.<\/p>\n<\/li>\n Acceder a esta informaci\u00f3n queda claramente ilustrado en la transmisi\u00f3n del sonido: si pudi\u00e9ramos “ver” el sonido, apreciar\u00edamos el movimiento de mol\u00e9culas de aire oscilando hacia delante y hacia atr\u00e1s con gran rapidez; pero lo que nos est\u00e1 permitido es “o\u00edr”, esto es, percibir frecuencias. Por ejemplo, al hacer sonar una tecla de un piano, no sentimos sacudidas de aire en nuestro o\u00eddo a raz\u00f3n de 250 vibraciones por segundo, sino un simple tono. El movimiento del aire es la se\u00f1al y el tono es la transformada de Fourier de dicha se\u00f1al.<\/p>\n<\/li>\n Tambi\u00e9n se utiliza la transformada de Fourier en relaci\u00f3n con el tratamiento digital de im\u00e1genes, por ejemplo para mejorar la definici\u00f3n en zonas no bien definidas.<\/p>\n<\/li>\n Adicionalmente, son objetos de inter\u00e9s los materiales compuestos, cuya composici\u00f3n puede ser determinada al analizar las distintas frecuencias electromagn\u00e9ticas que les caracterizan.<\/p>\n<\/li>\n En finanzas, el precio de algunos productos derivados puede expresarse como una ecuaci\u00f3n diferencial estoc\u00e1stica. Usando la transformada de Fourier es posible conseguir una valoraci\u00f3n de los productos derivados, uno de los activos financieros m\u00e1s importantes debido a su flexibilidad para la mitigaci\u00f3n del riesgo.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n La transformada convierte problemas en derivadas parciales en problemas diferenciales ordinarios. Se pueden dar ejemplos relativamente sencillos como el que sigue.<\/p>\n Consideremos la EDP unidimensional del calor en todo \\({\\bf R} \\times {\\bf R}_+\\): Aceptemos que es posible definir la trasformada de Fourier en la variable \\(x\\) de \\(u(\\cdot\\,,t)\\) (es decir, de la funci\u00f3n \\(x \\mapsto u(x,t)\\)) para cada \\(t\\). Entonces, si llamamos \\(v(\\cdot\\,,t)\\) a dicha transformada, de la EDP anterior se deduce f\u00e1cilmente que, para cada \\(s \\in {\\bf R}\\), la funci\u00f3n \\(t \\mapsto v(s,t)\\) es soluci\u00f3n de Si la EDP de partida est\u00e1 complementada con la condici\u00f3n inicial \\(u(\\cdot\\,,0) = u_0\\) y tiene sentido hablar de la transformada \\(v_0\\) de \\(u_0\\), tenemos que Este procedimiento se puede justificar rigurosamente (y por tanto la f\u00f3rmula anterior es totalmente v\u00e1lida) si, por ejemplo, \\(u_0 \\in L^2({\\bf R})\\). Tambi\u00e9n es posible aplicarlo en dimensi\u00f3n superior.<\/p>\n Por otra parte, combinado con estrategias de resoluci\u00f3n bien conocidas (y m\u00e1s precisamente el principio de Duhamel), el argumento permite determinar tambi\u00e9n las soluciones de EDP no homog\u00e9neas De modo an\u00e1logo, se pueden resolver EDP de ondas, sistemas de Lam\u00e9 (y otras EDP de elasticidad lineales m\u00e1s generales), EDP de Schr\u00f6dinger, etc., en \\({\\bf R}^N \\times {\\bf R}_+\\) para distintos valores de \\(N\\).<\/p>\n Las f\u00f3rmulas que se obtienen permiten deducir una gran cantidad de propiedades de las soluciones: regularidad, propagaci\u00f3n de singularidades, comportamiento cuando \\(t \\to 0^+\\) y\/o cuando \\(t \\to +\\infty\\) y muchas cosas m\u00e1s; para detalles, v\u00e9anse por ejemplo las referencias [2]-[6].<\/p>\n En particular, en el contexto de las soluciones de la EDP de Schr\u00f6dinger adimensionalizada En efecto, las soluciones \\(u = u(x,t)\\) tienen norma \\(\\int |u(x,t)|^2 \\,dx\\) independiente de \\(t\\). Si \u00e9sta es igual a \\(1\\), se puede interpretar que \\(u(\\cdot\\,,t)\\) es la funci\u00f3n de onda de la posici\u00f3n de una part\u00edcula y que su trasformada de Fourier en la variable \\(x\\) es la funci\u00f3n de onda del momento lineal. En otras palabras, que para cada \\(t\\) la probabilidad de que la part\u00edcula est\u00e9 en el conjunto medible \\(B \\subset {\\bf R}\\) (resp. posea momento lineal \\(s \\in B\\)) es Fijado el tiempo \\(t\\), denominemos \\(x_0(t)\\) y \\(s_0(t)\\) la posici\u00f3n media y el momento lineal medio de la part\u00edcula. Entonces las varianzas asociadas a estas leyes de probabilidad son, respectivamente, Desde un punto de vista experimental, esta propiedad es perfectamente razonable en mec\u00e1nica cu\u00e1ntica: al medir la posici\u00f3n de una part\u00edcula interactuamos con ella de manera que su momento lineal (y por tanto su velocidad) cambia y perdemos informaci\u00f3n sobre la misma.<\/p>\n<\/div>\n En la tercera parte de esta entrada hablaremos de la transformada r\u00e1pida de Fourier.<\/p>\n En esta entrada hablaremos de la transformada de Fourier y de algunas de sus aplicaciones. La transformada Con frecuencia, para describir la evoluci\u00f3n de un fen\u00f3meno con origen en f\u00edsica, qu\u00edmica, ingenier\u00eda, etc., debemos trabajar […]<\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":15,"featured_media":21956,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[36],"tags":[2800,2802,286],"class_list":["post-21944","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-los-monos-de-kubrick","tag-dominios-temporal-y-frecuencial","tag-propagacion-de-ondas","tag-transformada-de-fourier"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/21944","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/15"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=21944"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/21944\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/media\/21956"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=21944"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=21944"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=21944"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"\"](\"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/0_3SPZL7OBkn4RhLkG-300x174.gif\")
\n\\[
\nf(t) = \\sum_{n} c_n e^{2\\pi i nt \/ T} .
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\n\\hat f(s) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{-2\\pi i st} \\,dt , \\quad s \\in {\\bf R}.
\n\\]<\/p>\n\n
\n
![\"\"](\"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/41598_2024_51550_Fig1_HTML-300x294.png\")
Las aplicaciones<\/h3>\n
\n
Para saber m\u00e1s: convertir EDP en EDO<\/h3>\n
\n\\[
\nu_t – u_{xx} = 0, \\quad (x,t) \\in {\\bf R} \\times {\\bf R}_+ .
\n\\]<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/pianotransform-300x161.jpg\"){kind=spacer}
\n\\[
\nv_t + 4 \\pi^2 |s|^2 v = 0, \\quad s \\in {\\bf R}_+ .
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\nv(s,t) = e^{-4\\pi^2|s|^2 t} v_0(s) \\ \\text{ en } \\ {\\bf R} \\times {\\bf R}_+
\n\\]
\ny recurriendo ahora a la transformada inversa, conseguimos (al menos formalmente) los valores de la soluci\u00f3n \\(u\\):
\n\\[
\nu(x,t) = ({\\mathcal F}^{-1}v(\\cdot\\,,t))(x) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} G(x-y,t) u_0(y) \\,dy ,
\n\\]
\ndonde \\(G = G(x,t)\\) se denomina “n\u00facleo de Green”. Claramente, para cada \\(t\\), \\(G(\\cdot\\,,t)\\) es la transformada inversa de \\(s \\mapsto e^{-4\\pi^2|s|^2 t}\\).<\/p>\n
\n\\[
\nu_t – u_{xx} = f(x,t), \\quad (x,t) \\in {\\bf R} \\times {\\bf R}_+ ,
\n\\]
\npara funciones \\(f\\) adecuadas.<\/p>\n
\n\\[
\niu_t + u_{xx} = 0, \\quad (x,t) \\in {\\bf R} \\times {\\bf R}_+ ,
\n\\]
\nla transformada de Fourier y sus propiedades permiten demostrar de manera rigurosa el principio de incertidumbre de Heisenberg.<\/em><\/p>\n
\n\\[
\n{\\mathbb P_0}(B,t) := \\int_B |u(x,t)|^2 \\,dx
\n\\ \\ \\text{(resp. } {\\mathbb P_1}(B,t) := \\int_B |({\\mathcal F} u(\\cdot\\,,t))(s)|^2 \\,ds ).
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\n\\sigma_0^2 := \\int_{-\\infty}^{+\\infty} (x-x_0(t))^2 |u(x,t)|^2 \\,dx
\n\\ \\text{ y } \\ \\sigma_1^2 := \\int_{-\\infty}^{+\\infty} (s-s_0(t))^2 |({\\mathcal F} u(\\cdot\\,,t))(s)|^2 \\,ds
\n\\]
\ny un c\u00e1lculo adecuado conduce a la desigualdad
\n\\[\\sigma_0^2 \\sigma_1^2 \\geq c_0,\\]
\ndonde \\(c_0\\) es una constante positiva. Esto quiere decir que, en t\u00e9rminos probabil\u00edsticos, hay un l\u00edmite inferior a la precisi\u00f3n con la que se puede medir simult\u00e1neamente la posici\u00f3n y la velocidad de una part\u00edcula.<\/p>\nReferencias<\/h3>\n
\n