{"id":22093,"date":"2025-11-07T07:06:54","date_gmt":"2025-11-07T06:06:54","guid":{"rendered":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/?p=22093"},"modified":"2026-04-10T14:04:08","modified_gmt":"2026-04-10T12:04:08","slug":"fourier-y-iii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/2025\/11\/fourier-y-iii\/","title":{"rendered":"Fourier (y III)"},"content":{"rendered":"

Esta entrada es una continuaci\u00f3n de las entradas Fourier (I)<\/a> y Fourier (II)<\/a>, donde hemos hablado sucesivamente de Fourier, las series y transformada que llevan su nombre y algunas aplicaciones.<\/p>\n

La transformada discreta<\/h3>\n

Recordemos: la transformada de Fourier es un \u00fatil matem\u00e1tico que permite asociar a una funci\u00f3n que depende de una variable f\u00edsica (del tiempo, de una o varias variables espaciales) otra funci\u00f3n que depende de la frecuencia, es decir, que indica con qu\u00e9 frecuencia se presenta cada uno de los valores alcanzados.<\/p>\n

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Fig. 1 – Un esquema ilustrativo de la transformada discreta de Fourier<\/figcaption><\/figure>\n

Una versi\u00f3n finito-dimensional (y por tanto manejable desde un punto de vista computacional) de la transformada de Fourier es la transformada discreta.<\/p>\n

Se trata de una aplicaci\u00f3n de \\({\\bf R}^N\\) en s\u00ed mismo que a cada \\((x^0,x^1,\\dots,x^{N-1})\\) asigna los \\(X^k\\) siguientes:
\n\\[
\nX^k = \\sum_{n=0}^{N-1} x^n e^{-2 \\pi i kn \/ N} , \\quad k = 0,1, \\dots N-1 .
\n\\]<\/p>\n

Se puede mirar como una versi\u00f3n aproximada (o discretizada) de la transformada habitual con un n\u00famero de muestras igual a \\(N\\).<\/p>\n

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Fig. 2 – Una imagen digital y su transformada discreta<\/figcaption><\/figure>\n

En efecto, consideremos un intervalo \\([0,N]\\) y una funci\u00f3n \\(f : [0,N] \\to {\\bf R}\\) que es extendida por valores nulos a todo \\({\\bf R}\\). Su transformada de Fourier \\(\\hat f\\) est\u00e1 dada por
\n\\[
\n\\hat{f}(s) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{-2\\pi i ts} \\,dt \\approx \\sum_{n=0}^{N-1} f(n) e^{-2 \\pi i s n \/ N}.
\n\\]
\nPor tanto, los valores \\(X^k\\) asociados a los \\(x^n = f(n)\\) se pueden interpretar como aproximaciones de los \\(\\hat{f}(s_k)\\) con \\(s_k = k\\).<\/p>\n

En lo que sigue, identificaremos cada \\(N\\)-tupla \\(\\{ x^0, x^1, \\dots, x^{N-1} \\}\\) de \\({\\bf R}^N\\) con la funci\u00f3n \\(f_N : [0,N] \\to {\\bf R}\\) constante a trozos que toma los valores \\(f(n) = x^n\\) en cada \\(n = 0,1,\\dots N-1\\). Y denotaremos \\({\\mathcal F}_N\\) la aplicaci\u00f3n que a cada \\(f_N\\) de este tipo asigna la funci\u00f3n an\u00e1loga que, en cada \\(k = 0,1,\\dots N-1\\), toma el valor \\(X^k\\).<\/p>\n

He aqu\u00ed algunas propiedades de la transformada discreta de Fourier cuyas demostraciones son sencillas:<\/p>\n