Publicamos la soluci\u00f3n al divertimento Algo de criptograf\u00eda. Gracias a An\u00f3nimo17, F. Dami\u00e1n Aranda Ballesteros y Alejandro Salmer\u00f3n Casado, Javier Begines, Don Diedro y Holcenbxv, Pablo Hern\u00e1ndez y Alberto Ruiz, Juan Valderas y Jos\u00e9 Yanes por las soluciones que nos han enviado.<\/p>\n
Un emisor tiene que enviar una clave de cuatro n\u00fameros a un receptor. Entonces se ponen de acuerdo en crear un c\u00f3digo de seguridad de la siguiente manera. El emisor enviar\u00e1 seis n\u00fameros, estando el mensaje constituido por los cuatro primeros. Estos seis n\u00fameros ser\u00e1n los coeficientes ordenados de un polinomio de grado 5 que debe tener las ra\u00edces \\(1\\) y \\(2\\).<\/p>\n
El receptor recibe el mensaje:<\/p>\n
\\(1, 3, 4, 1, \u2212110, 100\\).<\/p>\n
\u00bfEs el mensaje anterior v\u00e1lido? En caso contrario, \u00bfpodr\u00edamos saber cu\u00e1l es la clave que se pretend\u00eda enviar?<\/p>\n
Obviamente el polinomio<\/p>\n
\\(P(x)=x^5+3x^4+4x^3+x^2-110x+100\\)<\/p>\n
no tiene las ra\u00edces \\(1\\) y \\(2\\), por lo que hay alg\u00fan error.<\/p>\n
Para detectar si es err\u00f3neo el primer coeficiente, ponemos<\/p>\n
\\(P_1(x)=ax^5+3x^4+4x^3+x^2-110x+100\\)<\/p>\n
y vemos qu\u00e9 valores de \\(a\\) hacen que \\(1\\) y \\(2\\) sean ra\u00edces; resulta<\/p>\n
\\(P_1(1)=0\\Longrightarrow a-2=0\\Longrightarrow a=2\\)<\/p>\n
\\(P_1(2)=0\\Longrightarrow 32a-36=0\\Longrightarrow a=9\/8.\\)<\/p>\n
Es decir, no hay ning\u00fan valor de \\(a\\) para el que resulte un polinomio que tenga las ra\u00edces \\(1\\) y \\(2\\).<\/p>\n
Al repetir esto en los polinomios<\/p>\n
\\(P_2(x)=x^5+ax^4+4x^3+x^2-110x+100,\\)<\/p>\n
\\(P_3(x)=x^5+3x^4+ax^3+x^2-110x+100,\\)<\/p>\n
\\(P_5(x)=x^5+3x^4+4x^3+x^2+ax+100,\\)<\/p>\n
\\(P_6(x)=x^5+3x^4+4x^3+x^2-110x+a,\\)<\/p>\n
se obtienen resultados similares con dos valores distintos de \\(a\\) para las dos ecuaciones. Pero en<\/p>\n
\\(P_4(x)=x^5+3x^4+4x^3+ax^2-110x+100,\\)<\/p>\n
resulta<\/p>\n
\\(P_4(1)=0\\Longrightarrow a-2=0\\Longrightarrow a=2,\\)<\/p>\n
\\(P_4(2)=0\\Longrightarrow 4a-8=0\\Longrightarrow a=2,\\)<\/p>\n
y es el \u00fanico valor que cumple las dos expresiones. Por tanto la clave de cuatro n\u00fameros correcta era \\(1,\\,\\,3,\\,\\,4,\\,\\,2.\\)<\/p>\n
Si ninguno de los seis polinomios pudiera tener a \\(1\\) y \\(2\\) como ra\u00edces, significar\u00eda que el mensaje tendr\u00eda m\u00e1s de un error y en este caso no habr\u00eda datos suficientes para detectar cu\u00e1les son los dos coeficientes err\u00f3neos sin conocer datos suplementarios.<\/p>\n
Agradecemos a Luis Delgado del Valle la indicaci\u00f3n del v\u00eddeo<\/p>\n
en el que aparece la cuesti\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Publicamos la soluci\u00f3n al divertimento Algo de criptograf\u00eda. Gracias a An\u00f3nimo17, F. Dami\u00e1n Aranda Ballesteros y Alejandro Salmer\u00f3n Casado, Javier Begines, Don Diedro y Holcenbxv, Pablo Hern\u00e1ndez y Alberto Ruiz, Juan Valderas y Jos\u00e9 Yanes […]<\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":42,"featured_media":23635,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[31],"tags":[2926,257,2924],"class_list":["post-23548","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-divertimentos-con-delantal","tag-codigo","tag-criptografia","tag-qr"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/23548","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/42"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=23548"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/23548\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23647,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/23548\/revisions\/23647"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/media\/23635"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=23548"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=23548"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=23548"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}