{"id":7990,"date":"2020-06-10T07:00:25","date_gmt":"2020-06-10T05:00:25","guid":{"rendered":"http:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/?p=7990"},"modified":"2021-11-09T12:16:55","modified_gmt":"2021-11-09T11:16:55","slug":"solucion-casas-numeradas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/2020\/06\/solucion-casas-numeradas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n: Casas numeradas"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Publicamos la soluci\u00f3n al divertimento de <a href=\"http:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/2020\/05\/casas-numeradas\/\">las casas numeradas<\/a>. Gracias a Jaime Benabent, Gustavo Roque Collado, Rafa Gonz\u00e1lez, Adri\u00e1n Mac\u00edas, Antonio Navas y Crist\u00f3bal S\u00e1nchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Divertimento:<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La conversaci\u00f3n entre dos matem\u00e1ticos que intercambian las direcciones de sus domicilios se desarrolla como sigue:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> \u2014\u00bfCu\u00e1l es el n\u00famero de tu casa?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> \u2014En mi calle las casas est\u00e1n numeradas correlativamente, del n\u00famero uno en adelante. Resulta que los n\u00fameros de las casas a un lado de la m\u00eda suman la misma cantidad que los n\u00fameros de las casas al otro lado. \u00a1Qu\u00e9 coincidencia!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> \u2014Con esa informaci\u00f3n no puedo determinar el n\u00famero  \u2014responde r\u00e1pidamente el otro\u2014. Dime al menos cu\u00e1ntas casas hay, \u00bfno?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> \u2014Es que no me acuerdo de cu\u00e1ntas son. Las cont\u00e9 hace tiempo. No s\u00e9\u2026 entre doscientas y trescientas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00bfEs posible determinar el n\u00famero de la casa?<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Soluci\u00f3n:<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Supongamos que hay \\(N\\) casas en total y que el n\u00famero de la casa es \\(n\\). Los n\u00fameros menores que \\(n\\) suman<br>$$1+\\ldots+(n-1)=\\frac{(n-1)n}{2},$$<br>mientras que los mayores que \\(n\\) suman<br>$$(n+1) + \\ldots + N = (1+\\ldots + N) &#8211; (1+\\ldots + n) = \\frac{N(N+1)}{2}-\\frac{n(n+1)}{2}.$$<br>Por tanto,<br>$$\\frac{(n-1)n}{2} = \\frac{N(N+1)}{2}-\\frac{n(n+1)}{2},$$<br>de donde se deduce la igualdad<br>$$n^2 = \\frac{N(N+1)}{2}.$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A partir de aqu\u00ed se abren varios caminos para hallar \\(n\\) y \\(N\\), que son respectivamente \\(204\\) y \\(288\\). Desde luego un camino es usar fuerza bruta (humana o computacional), como han hecho algunos lectores. Aunque no era nuestra idea, no lo descartamos expl\u00edcitamente en el enunciado del divertimento y son por tanto soluciones totalmente v\u00e1lidas. Sin embargo, a continuaci\u00f3n describiremos otros dos m\u00e9todos m\u00e1s conceptuales.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Como \\(N\\) y \\(N+1\\) son primos entre s\u00ed, se tiene que o bien \\(N\/2\\) y \\(N+1\\) son cuadrados, o bien \\(N\\) y \\((N+1)\/2\\) son cuadrados.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Si \\(N\/2\\) y \\(N+1\\) son cuadrados, como \\(200 \\leq N \\leq 300\\), tenemos que \\(N+1\\) debe ser \\(15^2=225\\), \\(16^2=256\\) o \\(17^2=289\\), y solo en el \u00faltimo caso, \\(N+1=289\\), obtenemos que \\(N\/2=144\\) es un cuadrado.<\/li><li>An\u00e1logamente, si \\(N\\) y \\((N+1)\/2\\) son cuadrados, tenemos que \\(N\\) debe ser \\(15^2=225\\), \\(16^2=256\\) o \\(17^2=289\\). En ninguno de estos casos \\((N+1)\/2\\) es un cuadrado, as\u00ed que nos quedamos con lo que obtuvimos en el punto anterior.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Otro camino es resolver la ecuaci\u00f3n de segundo grado<br>$$n^2 = \\frac{N(N+1)}{2}$$<br>en \\(N\\) en funci\u00f3n de \\(n\\), llegando a que<br>$$N=\\frac{-1 \\pm \\sqrt{1+8n^2}}{2}.$$<br>Para que esto tenga sentido debemos imponer que el discriminante sea un cuadrado (impar), es decir, \\(1+8n^2=y^2\\), que es una ecuaci\u00f3n de Pell.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para resolver dicha ecuaci\u00f3n nos podemos centrar en una m\u00e1s simple de la forma \\(y^2-2m^2=1\\), tomando \\(m=2n\\). Por tanto, las soluciones cuya segunda componente es par nos dar\u00e1n una soluci\u00f3n a nuestro problema, siempre y cuando impongamos tambi\u00e9n que \\(400\\leq m=2n\\leq 600\\). Todas las soluciones positivas \\((y_k,m_k)\\in\\mathbb{Z}_{&gt;0}^2\\) se generan de la primera no trivial (llamada fundamental), \\((y_1,m_1)=(3,2)\\), tomando<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">$$y_k+m_k\\sqrt{2}=(3+2\\sqrt{2})^k.$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">(N\u00f3tese que \\(2\\sqrt{2}=\\sqrt{8}\\); para resolver la ecuaci\u00f3n original basta tomar \\((y_1,m_1)=(3,1)\\).) De todos esos pares, solo el cuarto tiene \\(m_k\\) entre \\(400\\) y \\(600\\). Concretamente, \\((y_4,m_4)=(577,408)\\). Por tanto, \\(n=204\\) y \\(N=288\\). <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una \u00faltima posibilidad, digamos una b\u00fasqueda por fuerza bruta algo m\u00e1s <em>refinada<\/em>, usa un importante recurso de internet, la <a href=\"http:\/\/oeis.org\/\">Enciclopedia en L\u00ednea de Sucesiones Enteras<\/a> (OEIS, de sus siglas en ingl\u00e9s). Como \\(n^2=N (N+1)\/2\\), se deduce que el n\u00famero triangular \\(N(N+1)\/2\\) es un cuadrado. Los n\u00fameros triangulares que son cuadrados son \\(0\\), \\(1\\), \\(36\\), \\(1225\\), \\(41616\\), \\(1413721\\), \\(48024900\\), \\(1631432881\\), \\(55420693056\\),\u2026 (<a href=\"http:\/\/oeis.org\/A001110\">sucesi\u00f3n A001110<\/a> en la OEIS). \u00danicamente con \\(n^2=41616=204^2\\) se obtiene un valor de \\(N\\) entre \\(200\\) y \\(300\\), que es \\(N=288\\).<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\"><div class=\"wp-block-group__inner-container\"><\/div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div class=\"mh-excerpt\"><p>Publicamos la soluci\u00f3n al divertimento de las casas numeradas. Gracias a Jaime Benabent, Gustavo Roque Collado, Rafa Gonz\u00e1lez, Adri\u00e1n Mac\u00edas, Antonio Navas y Crist\u00f3bal S\u00e1nchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado. Divertimento: La conversaci\u00f3n <a class=\"mh-excerpt-more\" href=\"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/2020\/06\/solucion-casas-numeradas\/\" title=\"Soluci\u00f3n: Casas numeradas\">[&#8230;]<\/a><\/p>\n<\/div>","protected":false},"author":32,"featured_media":7930,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[31],"tags":[74,46],"class_list":["post-7990","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-divertimentos-con-delantal","tag-numeros","tag-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7990","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/32"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7990"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7990\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/media\/7930"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7990"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7990"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/institucional.us.es\/blogimus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7990"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}