Celebramos este año 2017 el centenario del nacimiento del noruego Atle Selberg, uno de los más grandes teóricos de los números del siglo XX, y dueño, como escribió alguien, de un «toque mágico» para las matemáticas.
Selberg había comenzado a estudiar teoría de números por su cuenta mientras aún era alumno de la escuela secundaria en Gjovik, e incluso había llevado a cabo sus propias exploraciones matemáticas. Ya de niño, había aprendido bastantes matemáticas leyendo libros de la biblioteca de su padre; y, con 17 años, había tenido acceso a las obras completas de Ramanujan, que llamaron poderosamente su atención.
Se matriculó en la Universidad de Oslo en 1935, y en 1936 salía publicado su primer artículo, «Sobre algunas identidades aritméticas», de 23 páginas, escrito en alemán. En la misma universidad, defendió su tesis doctoral «Sobre los ceros de la función zeta de Riemann» el 22 de octubre de 1943, poco antes de que las tropas alemanas que habían invadido noruega cerraran la universidad en noviembre. Fue detenido varias veces y tuvo que abandonar Oslo; volvió a Gjovik con sus padres, donde pasó el resto de la guerra investigando en la hipótesis de Riemann.
Se casó en 1947 y ese mismo año comenzaron sus estancias en el Institute for Advanced Study de Princeton, donde se estableció como profesor permanente en 1951, hasta su jubilación en 1987. Con 90 años, falleció de un ataque al corazón en su casa de Princeton.
Uno de los primeros éxitos matemáticos de Selberg fue su hallazgo, en 1937, de una fórmula analítica exacta para la función de particiones de enteros (¿de cuántas formas se puede escribir $n$ como suma de enteros positivos?) que habían estudiado Ramanujan y Hardy, y que incluso se ha popularizado gracias a la película «El hombre que conocía el infinito». De hecho, Selberg criticó a Hardy porque, según su opinión, el exceso de celo de Hardy en el rigor que exigía a Ramanujan habían impedido que este último diera con la fórmula. Sin embargo, el mismo resultado había sido publicado por Hans Rademacher poco antes de que lo probara Selberg.
Durante su carrera, Selberg casi no tuvo colaboradores. Salvo por una pequeña nota que escribió con Brun, Jacobsthal y Siegel en 1946, su único coautor fue Sarvadaman Chowla, con quien comparte ¡dos publicaciones! (la primera, con el anuncio de los los resultados que se iban a probar en la segunda, pero que no apareció hasta 18 años más tarde). Nada que ver con las costumbres actuales de gran parte de la comunidad matemática.
Incluso contando las publicaciones procedentes de conferencias en congresos de cuando ya era un matemático mundialmente reconocido, publicó menos de cuarenta artículos de investigación. Sin duda, con los baremos actuales en España, habría tenido muchas dificultades para que le reconociesen los sexenios de investigación y, con la «ley Wert» en la mano, hubiera sido penalizado con 32 créditos de dedicación docente. Por cierto, lo mismo le hubiera sucedido a Andrew Wiles, también profesor en Princeton, quien, tras muchos años de esfuerzo, logró demostrar el último teorema de Fermat. Afortunadamente, en Princeton han sido inmunes a nuestro infame ministro Wert, a quien Dios guarde muchos años en su lujosa residencia parisina actual, que le pagamos entre todos; al menos, desde allí no nos gobierna.
Pero no es lo mismo cantidad que calidad. Las aportaciones de Selberg en el campo de la teoría de números analítica fueron realmente significativas. Son muy destacados sus trabajos en formas modulares (por ejemplo, lo que hoy denominamos convolución de Rankin-Selberg), ceros de la función zeta de Riemann, métodos de criba, demostraciones elementales del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas y del teorema de los números primos, teoría espectral (uno de sus resultados más conocidos es la llamada fórmula de traza de Selberg) y series de Dirichet (que ha dado lugar a lo que se conoce como clase de Selberg). No profundizaremos en ninguno de estos resultados; si el lector quiere ver una somera descripción de su trabajo matemático, puede acudir a [1].
Por su trabajo en la demostración elemental del teorema de los números primos, sus estudios sobre los ceros de la función zeta de Riemann y el desarrollo de sus métodos de criba, Selberg recibió la medalla Fields en 1950.
Sin embargo, y posiblemente muy a su pesar, uno de los episodios por lo que más es recordado Selberg es por su disputa con Erdös a raíz de la demostración elemental del teorema de los números primos. Dicho teorema, conjeturado tanto por Legendre como por Gauss, y en el que Chebychev había logrado algunos avances, fue probado en 1896, y de manera independiente, por Hadamard y de la Vallée Poussin; establece que, si \(\pi(x)\) denota el número de primos menores o iguales que \(x\), se cumple
\(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x\,/\,\log(x)} = 1.\)
Ambas pruebas utilizan teoría de variable compleja y funciones analíticas; en concreto, la distribución de los ceros no reales de la función zeta de Riemann. La influencia de tales ceros en la demostración del teorema se puede seguir en la detallada exposición que se presenta en [3]. Resulta sorprendente que una demostración sobre primalidad de números requiera el uso variable compleja, pero no parecía fácil librarse de tal servidumbre. Hardy opinaba que una demostración que no usara teoría de variable compleja (eso es lo que se denomina «una demostración elemental») iba a necesitar ideas nuevas y profundas de gran influencia, hasta el punto que muchos libros iban a tener que ser reescritos. Dicha hazaña la llevaron a cabo Selberg y Erdös en 1948, pero su influencia no fue, ni mucho menos, tan grande como Hardy preveía. Lo que sí ocurrió es que, en el camino hacia la demostración elemental, Selberg y Erdös riñeron, y su disputa está muy bien documentada en algunas fuentes, como [2]. La demostración elemental parte de la fórmula
\(\displaystyle\vartheta(x)\log(x) + \sum\limits_{p\le x} \log(p) \vartheta\bigg(\frac{x}{p}\bigg) = 2x\log(x) + O(x), \text{ con } \vartheta(x) = \sum\limits_{p\le x} \log(p) \)
(y donde \(\sum_{p\le x}\) indica que la suma se efectúa sobre los primos \(p \le x\)), que Selberg probó en 1948. Erdös conoció la fórmula de Selberg y vio cómo podía usarse para llegar a una demostración elemental del teorema de los números primos. A través de comunicaciones incluso personales, ambos matemáticos eran conscientes de los progresos del otro, pero no llegaron a plasmarlo en una prueba conjunta. En su lugar, partiendo ambos de la fórmula de Selberg, completaron la demostración elemental del teorema por caminos distintos, y las publicaron en artículos separados.Una anécdota cuenta que, estando Selberg en la Universidad de Siracusa (EE.UU.) a finales de 1948, un matemático local le preguntó si había oído las excitantes noticias de lo que Erdös y un matemático noruego habían probado. Cuando años más tarde Selberg fue preguntado sobre si la anécdota era cierta, afirmó que no, que realmente solo le mencionaron a Erdös.
Referencias
[1] F. Chamizo, Atle Selberg: 1917-2007, La Gaceta de la RSME 11 (2008), 193-208.
[2] D. Goldfeld, The elementary proof of the prime number theorem: an historical perspective, Number Theory (New York Seminar 2003, D. Chudnovsky, G. Chudnovsky y M. Nathanson, eds.), 179-192, Springer, 2004.
[3] J. L. Varona, Recorridos por la Teoría de Números, Electolibris y Real Sociedad Matemática Española, Colección Textos Universitarios, núm. 4, Murcia, 2014.
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