Es una historia muy conocida que, hacia 1900, el descubrimiento de contradicciones o “antinomias” en la teoría ingenua de conjuntos llevó a una situación muy conflictiva. Pero se han dicho muchas cosas incorrectas con respecto a los detalles de lo que pasó. Algunos defienden que el verdadero descubridor de las antinomias fue Russell, quien sin duda les dio mucha importancia y enorme difusión desde su libro de 1903 (son famosas las cartas que se cruzó con Frege). Pero lo cierto es que la existencia de antinomias ya había sido anunciada –sin darle excesiva importancia– por Hilbert en un artículo sobre los reales de 1900; y Zermelo había encontrado por su cuenta la llamada ‘paradoja de Russell’ (que no publicó, quedando el mérito para Russell). Hilbert y Zermelo, igual que Dedekind y algún otro, conocieron el asunto de las antinomias gracias a discusiones y cartas de Cantor.
La historia es pues complicada, pero hay pocas dudas que el verdadero descubridor fue Georg Cantor, en 1896. Una de las razones por las que esto no se ha aclarado demasiado bien, es que el propio Cantor tenía una concepción sui generis de la teoría de conjuntos (diferente de la concepción ‘ingenua’ logicista de Frege o Dedekind) y estaba convencido que en la ‘verdadera’ teoría de conjuntos no hay ninguna contradicción. Él mismo lo explicó muy bien en una carta a Hilbert de 1899: decía que su concepción de la teoría de conjuntos “está de hecho en oposición diametral al punto clave de las investigaciones” de Dedekind, a saber, “el supuesto ingenuo de que toda colección o sistema bien definido es también un «sistema consistente»”. (ver Cantor 2006, 271) Dicho supuesto no es otra cosa que el principio de comprehensión, y como es sabido da lugar a las famosas contradicciones.
¿Cuál era esa ‘otra’ fundamentación de Cantor? Y ¿cómo descubrió las antinomias? También sobre estos puntos hay diversidad de opiniones, aunque a mi parecer las cosas son bastante claras. Algunos autores, como el historiador Purkert y el lógico Tait, han argumentado que Cantor encontró las paradojas ya en 1883, al publicar los Fundamentos para una teoría general de conjuntos [Grundlagen] donde introdujo por vez primera los números transfinitos. Esto está de acuerdo con alguna afirmación del propio Cantor, escrita al cabo de años, pero no se compadece con los detalles de la información disponible. En realidad, todo apunta a que Cantor encontró los argumentos concretos de las paradojas en 1896, cuando trabajaba en una exposición sistemática de sus ideas conjuntistas. Queriendo establecer resultados sobre alefs mayores que \(\aleph _0\) y \(\aleph _1\), llegó a considerar el conjunto de todos los alefs y entonces vio cómo se obtenía una contradicción empleando el Teorema de Cantor (i.e., dado un conjunto C, existe otro p(C) de mayor cardinalidad). Esto es lo que se suele llamar la paradoja de Cantor (poco después formuló también la llamada ‘de Burali-Forti’).
A partir de ese momento distinguió entre sistemas consistentes – que no dan contradicciones – y sistemas inconsistentes, los cuales no pueden considerarse como conjuntos; envió cartas a Dedekind y Hilbert, incluso envió a su alumno Bernstein a hablar con el primero, etc.
Que el genial matemático no tenía ideas claras antes de 1895 es fácil de probar. Podríamos dar algún texto de los Fundamentos (1883), pero bastará con uno de 1892. En ese año, Cantor escribe diciendo que tiempo atrás (precisamente en los Fundamentos) había logrado demostrar que las cardinalidades o ‘potencias’ infinitas no tienen máximo, con lo que a cada una sigue otra mayor; y no sólo eso, sino que además “la totalidad de las potencias, si las pensamos como ordenadas según sus tamaños, forma un ‘conjunto bien ordenado’…”. Es evidente que el autor de esta frase no ha tomado conciencia del problema de las antinomias: ¡un sistema inconsistente no puede ser un conjunto! Así que difícilmente podría conocerlas desde mucho antes (se puede encontrar más indicios en Jané 1995).
Lo que sí tenía ya Cantor, en 1883, era una idea filosófica muy atrevida: que los transfinitos estudiados por él se situaban entre lo Finito y lo Absolutamente Infinito. Su visión de los fundamentos de la teoría de conjuntos no era meramente lógica ni puramente matemática, sino metafísica. Creía firmemente que en la Naturaleza creada por Dios se encuentran no sólo conjuntos finitos, sino también conjuntos infinitos de todos los cardinales. Ahora bien, “lo absolutamente infinito” es mayor que cualquier transfinito: diríamos que es como Dios y no puede ser comprendido por la mente humana, ni por las matemáticas. Precisamente la sucesión de todas las 
potencias o cardinalidades (de todos los alefs) le pareció “un símbolo adecuado del Absoluto” que sólo se encuentra en Dios.
Tuvo en 1883 ya la visión de que, por inabarcable que pareciera la serie de los ordinales transfinitos, a cada uno de los ordinales le corresponde una cardinalidad o ‘potencia’ distinta y cada vez mayor: \(\aleph _\omega \), \(\aleph _{\omega +1}, \cdots \) Una imagen verdaderamente abismal. Todo ello le hacía pensar que la colección de todos los alefs no era concebible por la mente humana: “Lo Absoluto sólo puede ser reconocido, pero nunca conocido, ni siquiera aproximadamente conocido.” (Cantor 2006, 138)
Esto le preparó para recibir los argumentos de las antinomias, encontrados en 1896, como algo natural. Su reacción fue probablemente que tendría que haberlo comprendido antes. Debió tener la impresión de que las palabras que su pluma había escrito en 1883 eran más sabias que él mismo. De hecho, no quiero acabar sin sugerir una idea más, de tipo psicológico o bien metafísico. Cantor dejó dicho en 1895 que él no era más que un escriba, que se había limitado a registrar lo que le indicaba “la voz revelada de la Naturaleza” o de Dios. Las palabras escritas por él en 1883 era proféticas, una revelación divina; y las contradicciones de la teoría ingenua o logicista, que descubrió en 1896, confirmaban que sólo la concepción metafísica de la teoría de conjuntos era verdadera.
Resulta sorprendente el gran papel que en la matemática del siglo XX han tenido estas ideas, nacidas de la especulación metafísica, pero luego purificadas y matematizadas por Zermelo.
NOTA: Antinomia viene del griego ἀντινομία – antinomía. Significa una contradicción entre dos principios racionales, y por tanto inevitable. Esta noción fue puesta de moda por Kant en sus famosas “Antinomias de la razón pura”.
Referencias
I. Jané 1995. The Role of the Absolute Infinite in Cantor’s Conception of Set», Erkenntnis 42, 375-402.
G.H. Moore y A. Garciadiego 1981. «Burali-Forti’s Paradox: A reappraisal of its origins», Historia Mathematica 8, 319-350.
G. Cantor 2006. Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Barcelona, Crítica.
J. Ferreirós 2004. The Motives Behind Cantor’s Set Theory: Physical, biological and philosophical questions. Science in Context 17, nº 1/2 (2004), 1-35.
W. Tait 2000. «Cantor’s Grundlagen and the Paradoxes of Set Theory», en G. Sher y R. Tieszen, eds. Between Logic and Intuition: Essays in honor of Ch. Parsons, Cambridge University Press, 2000, p. 269-290.
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