Una apuesta en Zurich: Pólya contra Weyl

El 11 de noviembre de 1918 terminaba la Gran Guerra, un conflicto horroroso que luego sería ‘normalizado’ como I Guerra Mundial, con ocasión  de la II. La inhumana Gran Guerra removió conciencias y dejó a los europeos, al menos los jóvenes, con la idea de que era necesario reconstruirlo todo desde la base. Y digo bien: todo. También las matemáticas.

En ese mismo año, hace ahora 100, se publicaban algunos trabajos inquietantes: L.E.J. Brouwer radicalizaba su crítica a la matemática estándar con un artículo sobre “teoría de conjuntos intuicionista” (más tarde abandonó la palabra ‘conjunto’ para evitar cualquier malentendido) y Hermann Weyl publicaba su librito Das Kontinuum. En él propuso reconocer abiertamente que “una parte esencial de esa casa [el edificio del análisis] está construida sobre arena”, y trató de “reemplazar esos inseguros cimientos por pilares de una firmeza digna de confianza”. Ahora bien, los nuevos pilares no soportaban todo lo que hoy en general se tiene por seguro: “el resto lo doy por perdido, ya que no veo otra posibilidad”. Hacían falta sacrificios.

Weyl dejaba muy clara su idea de que las nociones más generales de función y conjunto son “vaguedades nebulosas” y el origen de círculos viciosos inaceptables. Escribió, pensando sin duda en la fuerte tradición conjuntista en la que se había educado durante los años 1900, en Hilbert y Göttingen: “Atado por la tradición a ese complejo de ideas que hoy domina absolutamente en matemáticas, y que ante todo se liga con los nombres de Dedekind y Cantor, yo he logrado encontrar y recorrer el camino de salida a ese círculo de ideas, cuyos hitos he indicado aquí.” El tono de orgullo resultaba evidente.

El maestro Hilbert y otros empezarían a alarmarse. Desde el punto de vista de Hilbert, que cumplía 58 años, la situación era muy dura: si su mejor discípulo, peor aún, si dos de los mejores matemáticos jóvenes abandonaban el camino de la axiomática y la teoría de conjuntos, ¿cuántos más irían tras ellos? Se corría el riesgo de perderlo todo, del abandono definitivo de esa “tradición” antes citada.

El enfoque fundamental que propone Weyl es el llamado análisis predicativo o predicativismo. Básicamente, la idea es aceptar la aritmética clásica de N y Q pero admitir sólo los números reales definibles sin recurrir a definiciones impredicativas. Esto exige emplear métodos refinados, más difíciles que los clásicos, para demostrar los teoremas del análisis, y renunciar a algunos desarrollos abstractos. El predicativismo no fue muy relevante en los años 1920 y 1930, pero ha encontrado seguidores en tiempos recientes, y alguno –como S. Feferman– ha afirmado que toda la matemática que se emplea en teorías físicas bien aceptadas, se puede reconstruir desde el análisis predicativo.

Me gustaría aquí recordar al Hermann Weyl de 1918 con un episodio ocurrido en Zurich que arroja luz sobre aquella época. Se trata de una apuesta que se cruzó con su colega en la ETH de Zurich G. Pólya, el famoso autor de How to solve it. La apuesta fue redactada en manuscrito por el propio Weyl, y cuentan que el original se encuentra enmarcado y colgado en la Sala Hermann Weyl, donde tienen lugar los seminarios de matemáticas en la ETH. Dice así:

Se acuerda entre G. Pólya y H. Weyl una apuesta bajo las siguientes condiciones.

En relación a las dos proposiciones siguientes de la matemática actual:

1) Todo conjunto acotado de números [reales] tiene una cota superior precisa.

2) Todo conjunto infinito de números incluye un subconjunto enumerable.

Weyl profetiza:

1. Dentro de 20 años, es decir a fines de 1937, el propio Pólya o la mayoría de los matemáticos que marcan la pauta concederán que los conceptos de número, conjunto y enumerable, que intervienen en esas proposiciones en las que hoy nos apoyamos comúnmente, son completamente vagos, y que por ende tan poco se puede preguntar acerca de la verdad o falsedad de 1) y 2) como –digamos– sobre la verdad de los principios de la filosofía natural de Hegel.
2. El propio Pólya, o la mayoría de los matemáticos que dan la pauta, habrán reconocido que las proposiciones 1) y 2), bajo una interpretación lo más clara y razonable posible de sus términos, son totalmente falsas (ya sea que todavía se discuten entonces varias interpretaciones posibles, ya que se haya alcanzado un acuerdo en torno a una de ellas); o bien, en el caso de que dentro de ese plazo se haya logrado encontrar una interpretación clara para ambas proposiciones, merced a la cual una al menos de ellas resulte verdadera, habrá sido necesaria una contribución creativa que dará un giro nuevo y original a la fundamentación de la matemática, y los conceptos de número y conjunto habrán ganado un contenido que hoy no conocemos ni intuimos.

Weyl ganará la apuesta si sucede lo profetizado; y Pólya en caso contrario.

En caso de que, transcurrido el plazo, ambos apostantes no estén de acuerdo acerca de quién ha ganado, el conjunto de los profesores ordinarios de matemática, distintos de ambos contrayentes, de la E.T.H. y las Universidades de Zurich, Göttingen y Berlín, será apelado como colegio de jueces. Su juicio decidirá por mayoría, dándose la apuesta por indecisa en caso de empate de opiniones.

La parte que pierda se compromete a costear la publicación de un anuncio de las condiciones de la apuesta, y del hecho de que ha perdido, en los Anales de la Asociación de Matemáticos Alemanes [Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung].

Zurich, el 9 de febrero de 1918

                        (Siguen las firmas de los contrayentes y de los colegas testigos.)

En un hermoso artículo sobre ‘Lo político en matemáticas’, el matemático e historiador Norbert Schappacher contaba el final de la historia. Las cosas, claro, sucedieron de modo distinto a lo planeado. El 26 de enero de 1935, apenas tres años antes de cumplirse el plazo, Hermann Weyl, desde Princeton (había emigrado, abandonando Göttingen en octubre de 1933), decidió salir de la Asociación de Matemáticos Alemanes (DMV) como medida de protesta política. Ya sólo por esta razón, nunca apareció en los Anales de la DMV una notificación sobre la apuesta. Pero, además, en 1937 no se le hubiera ocurrido a ninguno de los dos apostantes solicitar de su colega berlinés, el fascista Ludwig Bieberbach, que participase en decidir sobre la apuesta.

Aún así, El Continuo de Hermann Weyl volvió a despertar interés: el propio Weyl hacia el final de su vida se inclinó de nuevo por su viejo enfoque; y tras profundas investigaciones en teoría de la demostración, también Feferman y otros lógicos.

Una interesante conferencia sobre el tema, Das Kontinuum – 100 years later, tendrá lugar en Leeds el próximo septiembre: https://weyl100.wordpress.com/.