De todos es sabido que la humanidad, desde sus orígenes, está fascinada por los números primos. En el hueso de Ishango, un utensilio del Paleolítico Superior (el peroné de un babuino descubierto en 1960 en África, para ser más precisos) alguien, hace unos \(20\,000\) años, hizo una serie de muescas talladas divididas en tres columnas, en una de las cuales se muestran los primos 11, 13, 17 y 19. Bueno, quizás este comienzo es un poco exagerado y la interpretación de las marcas del hueso como números primos hechos de manera consciente es un poco fantasiosa, pero, desde luego, a los matemáticos sí que nos encantan los primos; al menos, a una gran parte de los matemáticos, entre los cuales me incluyo.
Desde la época griega se sabe que hay infinitos primos y cómo calcularlos (criba de Eratóstenes), pero los matemáticos siempre intentamos saber más. ¿Cuántos primos hay menores o iguales que un \(x\) dado? ¿Hay fórmulas para generar primos? Nos centraremos aquí en esta última pregunta.
Euler, en 1772, encontró que \(n^2+n+41\) es primo para \(n=0,1,2,\dots,39\); y existen otros polinomios que generan aún más primos. Es más, usando polinomios de interpolación (para cualesquiera datos \(x_i\) desde \(i=1\) hasta \(k\) existe un polinomio \(P(x)\) de grado \(\le k\) tal que \(P(i) = x_i\), para \(i=1,\dots,k\), y además hay métodos sencillos de construir \(P\)), es obvio que se pueden encontrar polinomios que generen, uno tras otro, tantos primos como se quiera, e incluso con primos prefijados. Pero, tal como había probado Goldbach en 1752 (sí, el mismo Goldbach que propuso la conjetura de que cualquier número par se puede expresar como suma de dos primos, que aún continua abierta), no existe ningún polinomio \(P(x)\) (no constante) tal que \(P(n)\) sea primo para todo entero \(n \ge n_0\). De hecho, probarlo es muy sencillo si usamos el lenguaje de las congruencias (esta demostración no es la de Goldbach):
Supongamos que sí que existe tal polinomio \(P(x)\). Elegimos un \(a \ge n_0\) entero y tomamos \(p = P(a)\), que por hipótesis deberá ser primo. Cualquier \(b \equiv a \pmod{p}\) verificará \(P(b) \equiv P(a) \pmod{p}\), luego \(P(b) \equiv p \pmod{p}\). Por hipótesis, \(P(b)\) también es primo, así que forzosamente \(P(b) = p\). Pero en la clase de \(a\) en \(\mathbb{Z}_p\) existen infinitos elementos (todos los de la forma \(b = a + kp\), \(k \in \mathbb{Z}\), y son todos \(\ge n_0\) cuando \(k\ge0\)), luego el polinomio \(Q(x) = P(x) – p\) tiene infinitas raíces, lo cual es imposible.
Como no hay polinomios que siempre generen primos, ¿hay otras formas de conseguirlo?
En 1947, Mills [5] probó que existe un número real \(\theta \in (1,\infty)\) tal que \(\lfloor{\theta^{3^n}}\rfloor\) es primo para todo \(n \in \mathbb{N}\) (por si acaso, aclaremos que \(\lfloor{x}\rfloor\) denota la parte entera de \(x\)).
Mills, en su demostración, usa un resultado previo de Ingham: para cierta constante \(K\), y para enteros \(N\) mayores que un cierto \(N_0\), siempre existe un primo \(p\) que cumple \(N < p < N + KN^{5/8}\). Asumiendo esto como cierto, y a grandes rasgos, el método de Mills permite tomar \(p_1 = 2\) y a partir de éste, y para cada \(n\), elegir como \(p_{n+1}\) el primer primo del intervalo \((p_n, p_n+Kp_n^{5/8})\). En estas circunstancias, es sencillo comprobar que \(\lfloor{\theta^{3^n}}\rfloor = p_n\) para cada \(n\).
Aunque determinar el valor de la constante \(\theta\) no es fácil (por ejemplo, depende de la constante \(K\), que no se conoce), admitiendo que la hipótesis de Riemann sea cierta se puede tomar \(\theta = 1.306\,377\,883\,863\dots\) (los detalles se pueden ver en [1]). Pero, incluso en las condiciones más favorables, los \(p_n\) que se van obteniendo son enormes:
$$
p_1 = 2,\quad p_2 = 11,\quad p_3 = 1361,\quad p_4 = 2\,521\,008\,887,
$$
\(p_5\) tiene \(29\) dígitos, etc. Se pueden ver más términos de esta sucesión en https://oeis.org/A051254.
Pero el resultado de Ingham no es fácil de probar, así que no es fácil dar una demostración completa del resultado de Mills. En 1951, Wright [7] se dio cuenta de que, modificando un poco lo que había hecho Mills, podía encontrar —usando resultados previos más sencillos— otra función generadora de primos; se podría contar en primero, podríamos decir, pero no como se explica física en primero (e incluso en bachillerato), sino de manera que los alumnos pudieran entenderlo. La demostración de Wright sólo necesita usar el postulado de Bertrand, es decir, que para cada \(N \in \mathbb{N}\), existe algún número primo \(p\) tal que \(N < p \le 2N\) (si suponemos \(N > 3\) podemos tomar \(N < p < 2N-1\)). Una demostración sencilla del postulado de Bertrand se puede ver en [6, sección 9.2] (dicha demostración es, esencialmente, la que dio Erdős en 1932).
Partiendo de \(p_1 = 3\), Wright elige una sucesión de números primos \(\{p_n\}\) tales que \(2^{p_n} < p_{n+1} < 2^{1+p_n}\), cuya existencia está garantizada por el postulado de Bertrand. Entonces, Wright prueba que existe un número real \(\alpha \in (1,2)\) tal que los términos de la sucesión \(\{\alpha_n\}_{n=0}^{\infty}\) definida —de manera recursiva— mediante
$$
\alpha_0 =\alpha, \quad \alpha_{n+1} = 2^{\alpha_n}, \quad n = 0,1,2,3,\dots
$$
cumplen que \(\lfloor{\alpha_n}\rfloor\) es primo (el \(p_n\) que hemos construido antes) para todo \(n = 1,2,3,\dots\)
En otras palabras, la parte entera de \(2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2^\alpha}}}}}\) es un primo para cualquier número de iteraciones de la exponencial.
Incluso tomando siempre el menor primo \(p_{n+1}\) que cumple \(2^{p_n} < p_{n+1} < 2^{1+p_n}\), los primos que van saliendo son enormes, mucho mayores que en el caso de Mills. En efecto, los primeros valores son \(p_1 = 3\), \(p_2 = 11\) y \(p_3 = 2053\), pero \(p_4\) ya tiene \(618\) dígitos.
Además de en los artículos originales [5] y [7], se pueden encontrar más detalles sobre los métodos generadores de primos de Mills y Wright, así como de algunos otros, en [2] y [6, apartado 9.3.2].
También hay funciones generadoras de primos a partir de constantes que se definen usando todos los primos (realmente, en las constantes de Mills y Wright ocurre lo mismo, lo que pasa es que queda más oculto a través de un existe, y ahora va a haber una fórmula explícita para la constante).
Por ejemplo, tomando \(\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} p_k/10^{2^{k}}\), donde \(\{p_k\}\) es la sucesión de todos los números primos, se tiene
$$
p_n = \lfloor {10^{2^{n}} \alpha} \rfloor – 10^{2^{n-1}} \lfloor {10^{2^{n-1}} \alpha} \rfloor.
$$
De manera similar, y si previamente hemos probado que el entero \(r\) cumple \(p_n \le r^n\) para todo \(n\) (lo cual es cierto para \(r=2\) por el postulado de Bertrand, e incluso más fácil de probar para \(r=4\)), la serie \(\alpha = \sum_{k=1}^\infty p_k/r^{k^2}\) es convergente y
proporciona la siguiente función generadora de primos:
$$
p_n = \lfloor {r^{n^2}\alpha} \rfloor – r^{2n-1} \lfloor {r^{(n-1)^2}\alpha} \rfloor.
$$
En ambos casos (que se pueden ver en [4, sección 22.3]), la justificación de las correspondientes expresiones para \(p_n\) es sencilla; el primero, en particular, es sólo una manipulación del desarrollo decimal \(\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} p_k/10^{2^{k}}\), que contiene los primos incrustados en él.
En 2018, cuatro estudiantes de 18 o 19 años de Buenos Aires (Dylan Fridman, Juli Garbulsky, Bruno Glecer y Massi Tron Florentin) idearon un nuevo método para generar primos basado en una constante, y pidieron ayuda a un matemático de la Gran Bretaña (James Grime) para redactarlo adecuadamente y completar las demostraciones. El método, que se puede ver en [3] es, para mi gusto, precioso. En el artículo, a la constante la llaman simplemente \(f_1\), pero aquí la denotaremos \(\lambda\) y la denominaré constante de Buenos Aires, que me parece mucho más atractivo. En lo que sigue, reproduciremos lo que ellos hacen.
La constante de Buenos Aires se define como
$$
\lambda = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{p_{k}-1}{\prod_{i=1}^{k-1} p_{i}},
$$
donde, de nuevo, \(\{p_k\}\) es la sucesión de todos los primos. Esta serie, que es de términos positivos, es convergente ya que está acotada por una convergente. En efecto, por el postulado de Bertrand, \(p_{k-1} < p_k < 2p_{k-1} – 1\), así que
\begin{align*}
\lambda &= (p_{1}-1) + \frac{p_{2}-1}{p_{1}} + \frac{p_{3}-1}{p_{2} p_{1}}
+ \frac{p_{4}-1}{p_{3} p_{2} p_{1}} + \cdots \\
&< (p_{1}-1) + \frac{2 p_{1}-2}{p_{1}} + \frac{2 p_{2}-2}{p_{2} p_{1}}
+ \frac{2 p_{3}-2}{p_{3} p_{2} p_{1}} + \cdots,
\end{align*}
y esta última es una serie telescópica en la que cada sumando \(({2p_{j}-2})/{\prod_{i=1}^{j} p_{i}}\) (con \(j\ge2\)) se descompone en dos, el primero de los cuales se cancela con parte del sumando anterior y el segundo con parte del siguiente. En consecuencia, \(\lambda < (p_{1}-1) + 2 = 3\). Con un ordenador es fácil ver que \(f_1 = 2.920\,050\,977\,316\dots\).
Usemos ahora \(g_n\) para denotar las sumas parciales \(\sum_{k=1}^{n}\) de la serie con la que hemos definido \(\lambda\), tomemos \(f_1 = \lambda\) y, para \(n > 1\),
$$
f_{n} = (\lambda-g_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} p_{i}
= (p_{n}-1 ) + \frac{p_{n+1}-1}{p_{n}} + \frac{p_{n+2}-1}{p_{n+1} p_{n}}
+ \frac{p_{n+3}-1}{p_{n+2} p_{n+1} p_{n}} + \cdots,
$$
con lo cual es claro que \(f_{n} = p_{n-1}(f_{n-1}-p_{n-1}+1)\).
Entonces, los \(f_n\) se pueden definir de manera recursiva (partiendo de la constante de Buenos Aires \(f_1=\lambda\)) como
$$
f_{n} = \lfloor f_{n-1}\rfloor (f_{n-1}-\lfloor f_{n-1}\rfloor+ 1),
$$
y cumplen que \(\lfloor f_{n}\rfloor = p_n\).
Para comprobar esto basta usar de nuevo el postulado de Bertrand, con lo cual
$$
f_{n} > (p_{n}-1) + \frac{p_{n}-1}{p_{n}} + \frac{p_{n+1}-1}{p_{n+1} p_{n}}
+ \frac{p_{n+2}-1}{p_{n+2} p_{n+1} p_{n}} + \cdots
$$
y
$$
f_{n} < (p_{n}-1) + \frac{2p_{n}-2}{p_{n}} + \frac{2p_{n+1}-2}{p_{n+1} p_{n}}
+ \frac{2p_{n+2}-2}{p_{n+2} p_{n+1} p_{n}} + \cdots.
$$
Como antes, esto son series telescópicas, la primera suma \(p_n\) y la segunda \(p_{n}+1\), así que \(p_n < f_n < p_{n}+1\) y \(\lfloor f_{n}\rfloor = p_n\).
También se puede demostrar que el número de Buenos Aires es irracional (para ello se usa que \(p_{n+1}/p_n \to 1\) cuando \(n \to \infty\), que es una consecuencia del teorema de los números primos). Pero, parafraseando a mi amigo y compañero Eduardo Sáenz de Cabezón en su canal Derivando, ¡no lo voy a hacer yo todo!; puedes leerlo tú mismo en el artículo original [3].
No quiero concluir sin comentar que este proceso de definir la constante de Buenos Aires se puede aplicar no sólo a la sucesión de primos \(\{p_n\}\), sino a cualquier sucesión de enteros positivos \(\{x_n\}\) que satisfaga \(x_{n-1} < x_n < 2x_{n-1} – 1\). Así tenemos un operador de Buenos Aires \(\operatorname{BA}\) definido como
$$
\operatorname{BA}(\{x_n\})
= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_{k}-1}{\prod_{i=1}^{k-1} x_{i}};
$$
el número \(\operatorname{BA}(\{x_n\})\) permite generar los \(x_n\) de manera análoga a como hacíamos con los primos, y \(\operatorname{BA}(\{x_n\})\) es un número irracional si \(x_{n+1}/x_n \to 1\) cuando \(n \to \infty\). El caso más sencillo es \(\operatorname{BA}(\{n+1\}) = e\).
Referencias
[1] C. K. Caldwell y Y. Cheng,
Determining Mills’ constant and a note on Honaker’s problem,
J. Integer Seq. 8 (2005), artículo 05.4.1.
[2] U. Dudley,
History of a formula for primes,
Amer. Math. Monthly 76 (1969), 23–28.
[3] D. Fridman, J. Garbulsky, B. Glecer, J. Grime y M. Tron Florentin,
A prime-representing constant,
Amer. Math. Monthly 126 (2019), 70–73.
[4] G. H. Hardy y E. M. Wright,
An Introduction to the Theory of Numbers,
quinta edición, Oxford University Press, 1979.
[5] W. H. Mills,
A prime-representing function,
Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 604.
[6] J. L. Varona,
Recorridos por la Teoría de Números, segunda edición,
Electolibris y Real Sociedad Matemática Española, Murcia, 2019.
[7] E. M. Wright,
A prime-representing function,
Amer. Math. Monthly 58 (1951), 616–618.
Dejar una contestacion