Publicamos la solución al divertimento de los anillos olímpicos. Gracias a Jaime Benabent y Marcos Jiménez y Manuel Zambrana por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
El símbolo de los juegos olímpicos son cinco anillos entrelazados, que determinan cinco círculos. ¿Es posible colocarlos de modo que haya un punto en todos los círculos y ningún círculo contenga al centro de otro?
¿Sería posible si fueran seis anillos en lugar de cinco? ¿Y si permitimos que el tamaño sea arbitrario?
Nota: los círculos deben considerarse incluyendo su borde.
Solución:
Sí es posible si son cinco anillos. Por ejemplo, colocando los centros de los anillos en los vértices de un pentágono regular de lado \(L\). Como los cinco círculos deben tener un punto en común, su radio \(r\) debe ser mayor o igual que el del pentágono, que es \(L/2\,\text{sen}(\pi/5)\). Por otro lado, como ningún círculo puede contener al centro de otro, necesariamente \(L>r\). Uniendo ambas desigualdades,
$$r<L\leq 2r\,\text{sen}(\pi/5)\simeq1,\!1756 r.$$
Por ejemplo, en la figura representamos el pentágono de lado \(L=10r/9\) con los cinco anillos.
En el caso en que fueran seis anillos no sería posible, ni siquiera pudiendo escoger el tamaño de los mismos. Para ver esto, supongamos que existiera un punto \(P\) en el interior de todos los círculos. Denotemos por \(O_i\) y \(r_i\) a los centros y radios de los círculos, respectivamente, y consideremos los ángulos \(\angle O_i \, P \, O_j\). Como habría seis puntos \(O_i\), existirían dos centros \(O_m\) y \(O_n\) de modo que \(\angle O_m \, P \, O_n \leq 60 ^\circ\). Entonces se tendría (tanto si los tres puntos estuvieran alineados como si no) que \(d(O_m,O_n) \leq d(O_m,P) \leq r_m\) o que \(d(O_m,O_n) \leq d(O_n,P) \leq r_n\), lo que lleva a una contradicción.
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