Tiempos de crisis

“La adversidad nos hace más sabios; la prosperidad destruye nuestra apreciación de lo justo.” — Seneca.

«Estamos en tiempos de crisis»: una frase que se repite, que quizá han repetido todas las generaciones humanas. ¿Quiénes somos? ¿Quién eres tú? En tiempos de crisis, dice R. Solnit, estas son cuestiones de vida o muerte: tras un terremoto, un atentado con bomba, o durante una grave epidemia, la mayoría de la gente es altruista, se entrega al cuidado de quienes tiene alrededor –y no sólo de sí misma– tanto si son amigos o personas queridas como si se trata de extraños. Y en tiempos de crisis, no está de más recordar que, al final, estas situaciones son relativamente normales.

Pero no quiero escribir sobre la crisis que estamos viviendo, sino de algo que me vino a la cabeza hablando con unos alumnos sobre sucesos de hace justamente un siglo. Un grave tiempo de crisis, sin duda, los años en torno a 1920: Europa salía de una terrible experiencia que hizo cambiar fundamentalmente aquella sociedad y aquella cultura. Y el caso es que los cambios alcanzaron incluso a las esferas más abstractas y aparentemente remotas de la actividad intelectual. Alcanzaron a las matemáticas.

            Me gustaría mencionar tres acontecimientos de esos años en torno a 1920, y centrarme sobre todo en los trabajos relativamente poco conocidos de Thoralf Skolem (1887-1963).

En 1921, H. Weyl escribe un artículo sobre “la nueva crisis de fundamentos en matemáticas” y diagnostica un grave “círculo vicioso” en los fundamentos del análisis. Él mismo había intentado esbozar un camino de salida de esas circularidades, en su libro de 1918 Das Kontinuum (El continuo), renunciando al sistema clásico de los números reales, aceptando un desajuste entre el continuo intuitivo y el sistema numérico, y abandonando el principio del supremo. (Principio del supremo: dado un conjunto C de números reales acotado superiormente, existe una menor cota superior, o supremo, de C.) La definición del supremo resulta ser impredicativa, y por lo tanto el principio es abandonado, pero es posible reconstruir diversos resultados del análisis por la vía del predicativismo. Lo demás, lo que no puede reconstruirse, se sacrifica en aras del progreso.

Pero en 1921 le parecía a Weyl incluso mejor una solución todavía más radical, la del intuicionismo. “Brouwer es la revolución”, dejó escrito, en una frase que parece haber logrado que Hilbert sintiera un escalofrío: auténtico miedo a que los jóvenes matemáticos abandonaran para siempre el camino de la matemática clásica, el análisis y la teoría de conjuntos. Eran tiempos de radicalismo, donde todo el mundo parecía dispuesto a abandonar las viejas formas de ser, a favor de lo nuevo. El mundo de los burgueses era decadente y caduco, había que sustituirlo por ‘otra cosa’: el comunismo, el anarquismo, el fascismo, lo que sea, pero otra cosa.

El viejo Hilbert, burgués a fin de cuentas, se decidió a defender el enfoque más conservador del “paraíso de Cantor”.

L. E. J. Brouwer (Bertus para sus amigos) había comenzado a desarrollar una “teoría de conjuntos intuicionista”, donde el principio de tercio excluso dejaba de regular la lógica; teoría que luego se llamaría sin más “matemática intuicionista” y que pretendía asegurar la intuitividad y la certeza como, sin duda, no lo hacía la matemática de los números reales y los cardinales transfinitos. Esta nueva teoría, bastante más difícil de manejar que la clásica (“las esferas de la verdad son menos transparentes que las de la ilusión”, dijo en 1933), llevaba a resultados sorprendentes. Dos ejemplos: no todo número real admite un desarrollo en decimales, pero cada función total es uniformemente continua.

Mientras Weyl y Brouwer exploraban los caminos difíciles del predicativismo y del intuicionismo, un matemático menos conocido, el noruego Thoralf Skolem, desarrollaba las ideas de la nueva lógica matemática con gran rigor, y mostraba de paso que la fundamentación conjuntista de las matemáticas tenía graves lagunas. El trabajo clave es su fantástica conferencia de 1922: ‘Algunas observaciones sobre la teoría de conjuntos axiomática’, que desgraciadamente se publicó en un lugar algo oscuro y fue mucho menos leída de lo que merecía.

En este artículo, Skolem mostraba su sorpresa por que la gente viera la teoría de conjuntos axiomática como el fundamento de las matemáticas, y daba sus razones para ser escéptico. “I believed that it was so clear that axiomatization in terms of sets was not a satisfactory ultimate foundation of mathematics that mathematicians would, for the most part, not be very much concerned with it. But in recent times I have seen to my surprise that so many mathematicians think that these axioms of set theory provide the ideal foundation for mathematics…»

Comenzaba refinando la teoría axiomática de Zermelo, que en aquel tiempo no era todavía un sistema formal: perfeccionaba el Axioma de Separación gracias a apoyarse en la lógica de primer orden, y planteaba la necesidad de añadir el Axioma de Reemplazo. Añadidos esenciales a la teoría. Cabe decir que los axiomas de Zermelo-Fraenkel (el sistema llamado ZFC) más bien deberían llamarse de Zermelo-Skolem, teniendo en cuenta la calidad y claridad de la contribución de Skolem…

Una vez hecho esto, tenemos un sistema axiomático impecable, pero que está muy lejos de determinar de manera absoluta los conceptos clave de la teoría. Incluso nociones tan fundamentales como las de enumerable y no-enumerable resultaban relativas. ¿Por qué? Porque la teoría de primer orden ZFC se ve alcanzada por el Teorema de Löwenheim-Skolem: si una teoría en lenguaje de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene ya un modelo enumerable. Esto quiere decir que la teoría ZFC es incapaz de determinar la cardinalidad del dominio de sus modelos (versiones downward y upward del teorema anterior); dándose la paradoja de que la teoría de conjuntos, cuyo tema principal es estudiar los conjuntos no-enumerables, ni siquiera determina correctamente este concepto de enumerabilidad. Esto es lo que se llama la Paradoja de Skolem (paradoja, pero no es ninguna contradicción). Y sobre esta base, Skolem establecía su resultado “más importante”, a saber, “que las nociones conjuntistas son relativas”.

El trabajo de Skolem incluía varias joyas más: observaciones sobre la multivocidad del dominio de los conjuntos (un hecho fundamental de la teoría de conjuntos actual), sobre las razones por las que le parecía casi imposible conseguir una demostración de consistencia (aún hoy out of sight), sobre la posibilidad de que la Hipótesis del Continuo fuera independiente de ZFC (como luego se probó), etc.

En resumen, se trata de un artículo verdaderamente fundamental, en el que terminaba diciendo: “Los expertos en teoría de conjuntos suelen ser de la opinión que la noción de entero debe ser definida y el principio de inducción matemática debe ser demostrado. Pero está claro que no podemos definir ni demostrar ad infinitum; antes o después llegaremos a algo que no puede ya ser definido o demostrado. Así pues, nuestro único objetivo debería ser que los fundamentos iniciales sean algo inmediatamente claro, natural, y no cuestionable. Esta condición la satisfacen el concepto de entero y las inferencias inductivas, pero ciertamente no la satisfacen los axiomas conjuntistas del tipo de Zermelo, ni nada por ese estilo. Si hubiéramos de aceptar la reducción de aquellas nociones a estas últimas, los conceptos conjuntistas deberían ser más simples que la inducción matemática, y razonar con ellos debería ser menos cuestionable, pero la situación real es enteramente la contraria.”

Para saber más, el trabajo original o su traducción al inglés: Some remarks on axiomatized set theory, in From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press.