Solución: Calculando cifras de pi

Publicamos la solución al divertimento del cálculo de las cifras de pi. Gracias a F. Damián Aranda, Pablo Cano, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Miguel Pineda, Francisco Planás y Samuel Villard por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

Un matemático inglés contemporáneo de Newton y con apellido casi de cantante de boleros descubrió una fórmula trigonométrica que le permitió construir una serie que convergía a \(\pi\) muy rápidamente. Esta fórmula nos va a servir en este divertimento, pues nos falta un término: se trata de encontrar el valor de \(x\) que hace cierta la expresión

$$\frac{\pi}{4}=4\arctan\left(\frac{1}{5}\right)-\arctan(x).$$

Solución:

Denotemos \(a=\arctan(1/5)\) y \(b=\arctan(x)\), de modo que \(\tan(a)=1/5\) y \(\tan(b)=x\). Como \(b=4a-\pi/4\), tenemos que
$$x=\tan(b)=\frac{\tan(4a)-\tan(\pi/4)}{1+\tan(4a)\tan(\pi/4)}=\frac{\tan(4a)-1}{1+\tan(4a)};$$

nos basta averiguar el valor de \(\tan(4a)\) para terminar. Aplicando dos veces la fórmula para la tangente del ángulo doble y sustituyendo el valor de \(\tan(a)\) llegamos a que
$$\tan(4a)=\frac{2\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}}{1-\left(\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}\right)^2}=\frac{120}{119}.$$
Usando ahora ambas fórmulas,
$$x=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1}{239}.$$

Nota: El delantal continúa excepcionalmente aún en la solución. El matemático citado es John Machin y su fórmula es, en efecto,

$$\frac{\pi}{4}=4\arctan\left(\frac{1}{5}\right)-\arctan\left(\frac{1}{239}\right).$$

Con ella, Machin obtuvo cien decimales del mismo en el siglo XVIII y la fórmula mantuvo la hegemonía para calcular decimales del irracional hasta los albores de la era informática.

El cantante de boleros aludido en el enunciado es Antonio Machín (este con tilde), cubano, que está enterrado en el cementerio de San Fernando de Sevilla, ciudad en la que tiene una estatua. Como gran parte de nuestros lectores ha nacido después de la muerte de nuestro artista, sirva como muestra de su trabajo el gran bolero Angelitos negros, que fue uno de los primeros alegatos contra la discriminación racial.