Kurt Gödel: racionalidad inconsistente

Probablemente, Gödel es el más grande lógico que ha habido nunca. Soy consciente de que es muy difícil comparar sus logros con los de Frege, y más aún con los de Aristóteles; si se quiere jugar a lo seguro, sin duda Kurt Gödel está en el pequeño y selecto grupo de los mayores lógicos de todos los tiempos. (Relacionado con esto, hay una anécdota peculiar. En una ocasión, Tarski dijo de sí mismo que era “the greatest living (sane) logician”, resolviendo de manera elegante, al añadir un predicado, un problema muy poco elegante: cómo resaltar al máximo su propia importancia y evitar la comparación con el genio de su generación.)

Cualquiera que haya leído un trabajo de Gödel, e incluyo aquí los filosóficos, no puede evitar la admiración por la extrema precisión de sus pensamientos. Una mente de nivel altísimo, una capacidad de concentración extraordinaria, planteamientos admirables, ciertas ideas técnicas deslumbrantes. A la vez, cualquiera que conozca la historia de Gödel no puede evitar una cierta tristeza al ver esa mente maravillosa cayendo en ideas conspiratorias, en creencias fantasmales, en miedos irracionales, en alucinaciones paranoicas. Kurt Gödel: extrema racionalidad llevada al extremo de la irracionalidad.

No voy a decir casi nada sobre los teoremas de incompletud, de los que tanto se ha hablado, y tampoco entraré en sus grandes resultados metateóricos sobre la teoría axiomática de conjuntos (consistencia relativa de AC y CH). Muchas veces se cometen errores de bulto al hablar de esos teoremas. ¡Imagínense, que hasta la página del IAS contiene alguna imprecisión! (Se lee allí: “His fundamental results showed that in any consistent axiomatic mathematical system there are propositions that cannot be proved or disproved within the system and that the consistency of the axioms themselves cannot be proved.” Pero la primera afirmación requiere una precisión sobre un mínimo contenido aritmético –hay sistemas formales consistentes que son completos, el más famoso, el sistema elemental de geometría de Tarski–, y la segunda otra precisión sobre los medios de prueba –es fácil demostrar la consistencia de la aritmética de varias formas, ninguna finitaria–.)

Sí que diré algo sobre la personalidad del genial austriaco, primero, también sobre su mujer, y sobre sus ideas filosóficas luego.

El mejor de sus biógrafos, John Dawson Jr., comentaba que aquel chico serio, brillante, inquisitivo y sensible que era el niño Gödel, a quien sus familiares llamaban el “Sr. Por qué”, no había perdido nunca la idea, algo infantil, de que todo en el mundo responde a causas y razones perfectamente precisas. Increíblemente inquisitivo, pero a la vez totalmente crédulo. Por poner solo dos ejemplos, creía posible que Fermat realmente tuviera esa demostración que no le cupo en el margen; y desde al menos 1939 se fue convenciendo, cada vez más, de que había una conspiración académica, de escala mundial, en contra de Leibniz y sus ideas (sospechaba que obras suyas habían sido destruidas, que sus editores lo habían saboteado, etc.). Tenía que ser G. W. Leibniz, claro: el gran matemático, lógico, y filósofo hiper-racionalista; quien pensó en codificar las ideas mediante números (anticipando la ‘gödelización’); el autor del “principio de razón suficiente”.

Todo el mundo sabe, imagino, que Kurt Gödel murió el 14 de enero de 1978 por inanición, autoinducida a causa de su temor a ser envenenado. También contra él había una conspiración. El genio era hipocondríaco desde los 8 años, y tuvo diversos problemas mentales a lo largo de su vida (por ejemplo, intensas depresiones en los años 1930); en esto recuerda a otro gran experto en teoría de conjuntos y admirador de Leibniz, Georg Cantor.

Si su vida fue tan prolongada, en buena medida es gracias al efecto tan positivo que sobre él ejercía su mujer, Adele. La había conocido en 1927, mientras hacía el doctorado en Viena; ella era una bailarina divorciada, seis años mayor que él. Sus padres no estaban contentos y se opusieron a la idea de un matrimonio, pero finalmente se casaron en 1938. Adele fue una de esas mujeres que se entregan al cuidado de su pareja como si fuera un niño, su genio desgraciado. El lógico Kreisel, quien los trató bastante en los años 1950 y 1960, decía que era “una revelación” ver a Gödel relajarse en compañía de ella. Adele no tenía educación formal, pero tenía mucha chispa, y el lógico racionalista parece que sabía apreciarlo bien. A ella le gustaba inventarse supuestos motivos para estar celosa: en una ocasión, dice Kreisel, se puso a hablar del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde vivían, como un lugar lleno de jóvenes y guapas estudiantes que estaban siempre al acecho de los profesores (más a menudo, llamaba al Instituto una “Residencia de ancianos”). Volviendo a la obsesión con la comida, fue Adele quien lograba obligar a Kurt a comer, entre otras cosas probando ella la comida primero, para demostrar que no había veneno.

Cambio de tema hacia lo filosófico. Se puede hablar de dos períodos en la vida de Gödel, divididos por la Segunda Guerra Mundial: antes de 1940 el primero, dedicado fundamentalmente a problemas lógico-matemáticos, y el segundo en cambio dedicado a temas filosóficos. Como ha señalado Feferman, es muy llamativo el contraste entre sus profundas convicciones platonistas y la suma cautela con que las presentó: “convicción y cautela”. Ya desde 1929 tenía Gödel algunas convicciones fuertes, que le hacían estar en desacuerdo con el famoso Círculo de Viena, y muchos años después resaltó la influencia que tuvieron en sus grandes éxitos de 1931 y 1939. Decía que su “concepción objetivista de las matemáticas y la metamatemática en general, del razonamiento transfinito en particular” había sido muy importante, al permitirle considerar ciertas ideas y técnicas que sus contemporáneos (Skolem, Carnap) no imaginaban. Ahora bien, se cuidó mucho de evitar cualquier atisbo de ese tipo de ideas en sus publicaciones durante toda la década, y sólo afloran en artículos escritos en 1944 (sobre las ideas de Russell) y 1947 (sobre el problema del continuo de Cantor).

Gödel defendió un fuerte Realismo conceptual y matemático, al principio acerca de la verdad aritmética, que ya hacia 1929 consideraba perfectamente objetiva; y al final también la verdad conjuntista de manera muy general. Para él, la incompletud sólo muestra una limitación intrínseca de los sistemas formales, pero no pone en duda la objetividad de la aritmética. Esta misma actitud le llevó a sugerir un programa de trabajo para completar la teoría de conjuntos, con axiomas de grandes cardinales, que algunos han llamado el Programa de Gödel.

Lecturas recomendadas del propio Kurt Gödel:

Conferencia de 1933, ‘La situación presente en los fundamentos de la matemática‘, Gaceta RSME 2006.

Artículo de 1947, ‘¿Qué es el Problema del Continuo de Cantor?’, en sus Obras completas, ed. J. Mosterín, Alianza Editorial.

Y del autor: Ensayo-Reseña de El Teorema de Gödel. Un análisis de la verdad matemática, por J. Pla i Carrera.