La trompeta de Gabriel (también llamada trompa o cuerno) es una figura geométrica ideada por Evangelista Torricelli hacia 1641 que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito. Realmente, Torricelli la bautizó como «sólido hiperbólico agudo» («solide hyperbolique aigu»), un nombre mucho menos imaginativo.
Para construir la trompeta de Gabriel hay que tomar la función \(y=1/x\) para \(x \ge 1\) y hacerla girar en torno al eje \(x\), con lo cual se obtiene la figura adjunta:
El volumen de ese sólido de revolución es
\[
\text{Volumen} = \pi \int_{1}^{\infty} y^2 \,dx = \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \,dx = \pi.
\]
Y su superficie lateral es
\[
\text{Superficie lateral} = 2\pi \int_{1}^{\infty} y \sqrt{1+(y’)^2} \,dx
= 2\pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1+\frac{1}{x^4}} \,dx = \infty.
\]
Tendríamos así una figura con un volumen finito para la que, si la quisiéramos pintar, necesitaríamos una cantidad infinita de pintura.
Quiero ahora hacer un inciso destinado a las personas que no han bebido de nuestra tradición judeo-cristiana. En Logroño, en la zona de ocio gastronómico y enológico comúnmente conocida como «calle Laurel», hay una calle denominada «calle del Cristo». Hace años, al hijo de un amigo le preguntaron si sabía quién era el tal Cristo que daba nombre a la calle; él contestó que debía ser alguien que se manchaba mucho (¡claro, por eso se dice lo de «te has puesto como un Cristo»!). Esta anécdota, que es rigurosamente cierta, muestra la pertinencia de aclarar que el nombre de tan peculiar figura geométrica alude al arcángel Gabriel tocando la trompeta para anunciar el Día del Juicio Final. Realmente, aunque la Biblia menciona un soplido de trompeta antes de la resurrección de los muertos, no se especifica que Gabriel sea el trompetista; de hecho, el Apocalipsis 8:1-6 habla de «siete ángeles con siete trompetas listas para tocar». Pero sí que es cierto que, en otros pasajes bíblicos, Gabriel es el encargado de anunciar diversos acontecimientos relevantes, así que es fácil imaginar que Gabriel podría tener un papel destacado entre los siete ángeles. Las identificaciones más antiguas de Gabriel como el trompetista vienen del año 1455, en el arte bizantino. Por cierto, Gabriel también aparece mencionado unas cuantas veces en el Corán, de nuevo anunciando acontecimientos y sin trompeta.
El caso es que, aunque haya quien a la figura que nos ocupa la denomine trompeta (o trompa, o cuerno) de Torricelli en vez de trompeta de Gabriel, una figura con propiedades tan sorprendentes merece llevar el nombre de un arcángel, aunque su descubridor no fuera el arcángel sino un simple matemático. No hay duda de que, tocada por Gabriel, la milagrosa trompeta contribuiría, quizás junto con la intervención divina, a la resurrección de los muertos.
Como yo provengo de una región vinícola, y además doy clase en el Grado de Enología en la Universidad de La Rioja, estoy mucho más interesado en las barricas que en las trompas, las trompetas o los cuernos. No se puede negar que una barrica llena de vino puede ser el origen de una trompa, pero, aparte de eso, ¿qué tiene que ver todo esto con las barricas? ¡Pues que vamos a diseñar una barrica con la forma de nuestra figura!
Tomemos dos funciones \(y = C_e/x\) e \(y = C_i/x\) con \(C_e > C_i > 0\) dos constantes (el subíndice \(e\) alude a exterior, e \(i\) alude a interior); luego veremos qué valores asignamos a esas constantes. Vamos a hacer girar las dos curvas en torno al eje \(x\) para \(x\ge1\). El espacio entre ellas será la barrica en sí, con sus duelas de madera de roble, cada vez más finas. Y el espacio hueco que se ha obtenido al girar \(y = C_i/x\) será el destinado al vino, que envejecerá en contacto con la madera. Si utilizamos los decímetros como unidad de medida en los ejes de coordenadas, en esa barrica caben
\[
\pi \int_{1}^{\infty} \frac{C_i^2}{x^2} \,dx = C_i^2 \pi \quad\text{litros}.
\]
Y la cantidad de madera usada en su construcción será
\[
\pi \int_{1}^{\infty} \frac{C_e^2}{x^2} \,dx – \pi \int_{1}^{\infty} \frac{C_i^2}{x^2} \,dx
= (C_e^2 – C_i^2) \pi \quad\text{decímetros cúbicos}
\]
(a eso hay que añadir la tapa, claro, pero no nos vamos a preocupar de detalles insignificantes).
Por supuesto, queremos una barrica de Rioja, y las barricas de Rioja deben ser de 225 litros. No tenemos más que tomar \(C_i = \sqrt{225/\pi}\) y ya tendremos una barrica que cumple la normativa del Consejo Regulador de la Denominación de Origen Calificada (desconozco quién decidió el nombre que debía tener dicho organismo). El valor de \(C_e\) no es muy importante; basta señalar que, cuanto más cercano sea a \(C_i\), menos madera necesitaremos y más barata será la barrica (si no tenemos el cuenta el sueldo del cubero encargado de su fabricación artesanal). Un detalle final: las barricas no se pintan (¡la pintura transmitiría olores y sabores al vino!), luego no hay que preocuparse de que, si hubiéramos querido pintarla, habríamos necesitado una cantidad infinita de pintura.
Se sabe que las barricas de Gabriel son tan milagrosas como las trompas, y el vino criado en ellas también resucita a los muertos. Como el Viña Tondonia blanco, aunque realmente es más difícil conseguir este vino que construir una barrica de Gabriel.
Dejar una contestacion