Fourier (I)

Esta entrada y las dos siguientes tienen que ver con las series de Fourier, la transformada de Fourier, algunos conceptos afines y sus aplicaciones. En esta primera parte, hablaremos de Joseph Fourier y sus aportaciones y de una cuestión que ha motivado mucho trabajo a lo largo de muchos años: el problema de la convergencia de una serie de Fourier.

Joseph Fourier

Fourier nació en 1768 en Auxerre en una familia con grandes dificultades económicas, quedando huérfano a los ocho años. Fue adoptado por el organista Joseph Pallais y, algún tiempo después, ingresó en la Escuela Superior Benedictina, orientándose inicialmente a la carrera religiosa y después hacia la Música y las Matemáticas, donde al parecer destacó casi desde el primer momento. Se cuenta que solía coleccionar cabos de velas para poder estudiar por la noche en solitario.

Fourier participó en la Revolución Francesa. Posteriormente se incorporó a la Escuela Normal Superior de París bajo la tutela de Lagrange y Laplace y de allí pasó a la prestigiosa École Polytechnique, donde obtuvo una plaza de profesor.

En 1798, recibió una citación del Ministerio del Interior con el siguiente texto:

“Ciudadano: el directorio ejecutivo, que tiene una necesidad particular de sus talentos y de su fervor, acaba de disponer de usted por el bien del servicio público. Debe prepararse y estar listo para partir apenas reciba la orden”.

Dos meses después, partió hacia Egipto, reclutado por Napoleón Bonaparte junto a más de 100 miembros del mundo académico y una multitud de soldados. Pocos meses después, fue designado secretario perpetuo del Instituto de Egipto. Durante su estancia en dicho país, elaboró numerosas memorias de distinto tipo, dirigió una comisión de exploración y acumuló una gran colección de objetos, incluyendo una copia de la piedra de Rosetta.

De regreso a Francia en 1801, Napoleón Bonaparte le nombró prefecto del Departamento de Isère. Fue en la capital, Grenoble, donde se interesó en profundidad por la propagación del calor, su modelado matemático y la resolución de las ecuaciones, deducida con series trigonométricas. Según se dice, estuvo inicialmente preocupado por responder a Napoleón una pregunta muy concreta: ¿Cuánto tiempo hay que dejar enfriar un cañón entre un disparo y otro para conseguir un funcionamiento correcto?

Sus avances fueron inicialmente criticados por varios científicos coetáneos (entre otros, sus tutores Lagrange y Laplace). Sin embargo, acabaron abriéndose camino y puede decirse que constituyeron el verdadero inicio del estudio de las funciones, más allá del marco de las que tienen una expresión analítica.

Las contribuciones más importantes de Fourier están contenidas en su “Teoría analítica del calor”, publicada en 1822 en las Mémoires de l’Académie de Sciences. En ella describe las dificultades que encontró su publicación y, al mismo tiempo, menciona esperanzado lo siguiente: “Los retrasos en la publicación de mi obra habrán contribuido a hacerla más clara y completa”.

Curiosamente, se puede considerar que Fourier fue el primer científico capaz de detectar lo que hoy se conoce como efecto invernadero y de buscar una explicación.

Efectivamente, calculó la temperatura que debía tener un objeto del tamaño de la Tierra que estuviera a la misma distancia del Sol y encontró valores más bajos de los que se dan en nuestro planeta. Después de reflexionar sobre posibles causas, llegó a la conclusión de que el origen estaba en la radiación interestelar. Hoy sabemos que esta no tiene ni mucho menos tanta relevancia, pero no por eso deja de tener mérito el análisis del problema.

Las series

La idea central impulsada por Fourier fue representar cualquier función como una suma infinita de funciones sinusoidales. Esto le permitió descomponer una señal compleja en sus componentes de frecuencia.

Así, las series de Fourier permiten representar una enorme cantidad de funciones definidas en un intervalo como una suma (en general infinita) de funciones que en cierto modo son elementales, fáciles de manejar y de significado muy preciso.

Por ejemplo, dada una cuerda que ocupa un intervalo que va de \(x = 0\) a \(x = L\) y está sujeta por los extremos, podemos imaginar que adopta perfiles de frecuencia \(1, 2, 3 \dots\) correspondientes a las funciones \(\sin(\pi x / L)\), \(\sin(2\pi x / L)\), \(\sin(3\pi x / L)\), … (Véase la Fig. 3.)

Si queremos describir una vibración más complicada, tiene sentido hacerlo expresándola como una combinación lineal de perfiles “elementales”. De este modo, diríamos “cuánto de \(\sin(\pi x / L)\)”, “cuánto de \(\sin(2\pi x / L)\)”, etc. tiene la vibración. Lógicamente, cabe imaginar la necesidad de que esta combinación lineal sea infinita, si queremos que la familia sea realista.

La lista de aplicaciones donde intervienen las series de Fourier es enorme y, de hecho, crece cada día, véase por ejemplo [1]. Citemos brevemente algunas de ellas:

• Permiten analizar (y reforzar) el comportamiento de una señal óptica.

• Ayudan en el procesamiento y filtrado de imágenes digitales, así como en el reconocimiento de patrones.

• También, detectar los porcentajes de presencia de los distintos elementos que componen un compuesto químico o una aleación, por ejemplo, a partir de las distintas frecuencias del espectro electromagnético.

• Con carácter general, resolver una gran familia de EDP con origen diverso: transmisión del calor; propagación de ondas en cuerdas, placas o sólidos; evolución de poblaciones que interactúan; descripción y comportamiento de circuitos eléctricos, etc.

Algunas de estas aplicaciones se describirán con más detalle en las entradas que siguen.

La convergencia

Dada una función \(f : [0,L] \to {\bf R}\) que sea continua con \(f(0) = f(L) = 0\), podemos asignarle (por ejemplo) la serie de Fourier “impar”
\[
S_f := \sum_{n\geq1} f_n \sin (n\pi x/L), \ \text{ con } \ f_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(s) \sin (n\pi s/L) \,ds
\ \ \forall n \geq 1.
\]

Es fácil convencerse de que, si \(f\) coincide (por ejemplo en casi todo \([0,L]\)) con la suma de la serie, entonces necesariamente los \(f_n\) toman los valores precedentes. Pero ¿es cierto el recíproco? Es decir, una vez definidos así los \(f_n\), se puede asegurar que la serie converge en casi todo \(x \in [0,L]\) hacia \(f(x)\)?

Esta pregunta ha inspirado el trabajo de mucha gente a lo largo de casi 200 años. Después de varios resultados parciales, lo que se ha ido sabiendo hasta hoy se puede resumir como sigue:

1. Si \(f\) es de variación acotada, su serie de Fourier converge en todo \(x\) a la media local de \(f\). En particular, si \(f\) es continuamente diferenciable, la serie converge a \(f\) en todo punto, un resultado que se debe a Dirichlet (1829).

2. Si \(f\) no es necesariamente continua pero es medible y de cuadrado integrable, la serie converge a \(f\) en norma \(L^2\), es decir\[\lim_{m \to +\infty} \int_0^L |f(x) – \sum_{n=1}^m f_n \sin (n\pi x/L)|^2 \,dx = 0\](obsérvese que esto implica que una subsucesión de la sucesión de sumas parciales, pero no necesariamente la sucesión completa, converge en casi todo punto a \(f\)).

3. Existen funciones continuas cuyas series de Fourier divergen en algún punto (Du Bois-Reymond, 1876).

4. Existen funciones medibles e integrables cuyas series de Fourier divergen en todo punto (Kolmogorov, 1926).

5. Si \(f\) es medible y de cuadrado integrable, la serie converge a \(f\) en casi todo \(x \in [0,L]\) (Carleson, 1966).

6. Lo mismo ocurre si \(f\) es medible y \(p\)-integrable con \(1 < p \leq +\infty\) (Hunt, 1968).

7. Dado un conjunto medible \(A \subset [0,L]\), existe \(f : [0,L] \to {\bf R}\) continua tal que su serie de Fourier diverge en todos los puntos de \(A\) si y sólo si \(A\) es de medida nula (Katznelson, 1966).

La prueba original de Carleson no es sencilla y, dada la importancia del resultado, ha sido revisitada y explicada por varios autores. Entre ellos, Juan Arias de Reyna en la referencia [2]. Este libro contiene de hecho mucho más: una exposición detallada de los resultados de Hunt, Sjölin, Soria y otros, algunas aplicaciones y consecuencias, etc.

Mencionemos también que existen otras pruebas del Teorema de Carleson-Hunt dadas por Fefferman en 1973, Lacey y Thiele en 2000, Fremlin en 2003 y Grafakos en 2009; véase [3].

Una cuestión abierta es cuál es la familia más grande de funciones \(f : [0,L] \to {\bf R}\) cuyas series de Fourier convergen en casi todo \([0,L]\). Se sabe que esto no ocurre en
\[
E := \{ f : \int_0^L \log (\max(f(x),1))^{1/2} \,dx < +\infty \}
\]
(Sjölin, 2000), mientras que sí ocurre en circunstancias algo más estrictas (Antonov, 1996). La candidata natural es la familia
\[
E_1 := \{ f : \int_0^L \log (\max(f(x),1)) \,dx < +\infty \} .
\]

Para saber más: algunas referencias

1. Serov, V., Fourier Series, Fourier Transform and their Applications to Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences, Vol. 197, Springer International Publishing, 2017.
2. Arias de Reyna, J., Pointwise Convergence of Fourier Series, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin 2002.
3. Boyce, W.E., DiPrima, R.C., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th ed.), New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2005.