Solución: restar al revés

Publicamos la solución del divertimento Restar al revés. Muchas gracias a Anónimo17 y José Yanes por las soluciones que nos han enviado. Se han recibido soluciones parcialmente correctas por parte de F. Damián Aranda Ballesteros y Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco.

Divertimento

Encontrar los números de 4 cifras diferentes, tales que cada uno de ellos verifique la condición de que si se le resta el número invertido (siempre restando el mayor de los dos menos el menor) se obtiene otro número formado por las mismas cifras.

Solución

Sean \(M = abcd = 1000a + 100b + 10c + d\), \(N = dcba = 1000d + 100c + 10b +a\) y \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) cuatro números enteros no negativos de una cifra. Queremos hallar los valores de \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) tales que las cifras de el número \(M-N\) coincida con las cifras de \(M\) (y de \(N\)).

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que \(M>N\) y, por tanto, \(a>d\). De este modo,  hay dos posibilidades: que \(b>c\) o que \(c>b\).

En el primer caso, la diferencia es

\((1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)=\)

\(=1000(a-d)+100(b-c-1)+10(10+c-b-1)+(10+d-a)\).

Es decir, las cifras de la diferencia son \(a-d\), \(b-c-1\), \(10+c-b-1\) y \(10+d-a\). Igualando unas con otras y explorando todas las posibilidades, salen seis soluciones: \(1980\), \(2961\), \(3870\), \(5823\), \(7641\) y \(9108\).

En el otro caso, razonando igual que antes, las cifras de la diferencia son \(a-d-1\), \(10+b-c\), \(c-b-1\) y \(10+d-a\). En este caso, analizando todas las posibilidades no encontramos ninguna solución del ejercicio.

Finalmente, concluimos que los únicos seis números de cuatro cifras distintas que satisfacen las condiciones del problema son:  \(1980\), \(2961\), \(3870\), \(5823\), \(7641\) y \(9108\).