Solución: Algo de criptografía

Publicamos la solución al divertimento Algo de criptografía. Gracias a Anónimo17, F. Damián Aranda Ballesteros y Alejandro Salmerón Casado, Javier Begines, Don Diedro y Holcenbxv, Pablo Hernández y Alberto Ruiz, Juan Valderas y José Yanes por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento

Un emisor tiene que enviar una clave de cuatro números a un receptor. Entonces se ponen de acuerdo en crear un código de seguridad de la siguiente manera. El emisor enviará seis números, estando el mensaje constituido por los cuatro primeros. Estos seis números serán los coeficientes ordenados de un polinomio de grado 5 que debe tener las raíces \(1\) y \(2\).

El receptor recibe el mensaje:

\(1, 3, 4, 1, −110, 100\).

¿Es el mensaje anterior válido? En caso contrario, ¿podríamos saber cuál es la clave que se pretendía enviar?

Solución

Obviamente el polinomio

\(P(x)=x^5+3x^4+4x^3+x^2-110x+100\)

no tiene las raíces \(1\) y \(2\), por lo que hay algún error.

Para detectar si es erróneo el primer coeficiente, ponemos

\(P_1(x)=ax^5+3x^4+4x^3+x^2-110x+100\)

y vemos qué valores de \(a\) hacen que \(1\) y \(2\) sean raíces; resulta

\(P_1(1)=0\Longrightarrow a-2=0\Longrightarrow a=2\)

\(P_1(2)=0\Longrightarrow 32a-36=0\Longrightarrow a=9/8.\)

Es decir, no hay ningún valor de \(a\) para el que resulte un polinomio que tenga las raíces \(1\) y \(2\).

Al repetir esto en los polinomios

\(P_2(x)=x^5+ax^4+4x^3+x^2-110x+100,\)

\(P_3(x)=x^5+3x^4+ax^3+x^2-110x+100,\)

\(P_5(x)=x^5+3x^4+4x^3+x^2+ax+100,\)

\(P_6(x)=x^5+3x^4+4x^3+x^2-110x+a,\)

se obtienen resultados similares con dos valores distintos de \(a\) para las dos ecuaciones. Pero en

\(P_4(x)=x^5+3x^4+4x^3+ax^2-110x+100,\)

resulta

\(P_4(1)=0\Longrightarrow a-2=0\Longrightarrow a=2,\)

\(P_4(2)=0\Longrightarrow 4a-8=0\Longrightarrow a=2,\)

y es el único valor que cumple las dos expresiones. Por tanto la clave de cuatro números correcta era \(1,\,\,3,\,\,4,\,\,2.\)

Si ninguno de los seis polinomios pudiera tener a \(1\) y \(2\) como raíces, significaría que el mensaje tendría más de un error y en este caso no habría datos suficientes para detectar cuáles son los dos coeficientes erróneos sin conocer datos suplementarios.

Agradecemos a Luis Delgado del Valle la indicación del vídeo

• Construí un código QR con mis propias manos para ver cómo funciona (español).
• I built a QR code with my bare hands to see how it works (inglés).

en el que aparece la cuestión.