Seguramente todos conocemos la famosa idea que Hilbert defendía allá por el año 1900: la existencia de algo en matemáticas se reduce a su consistencia lógica. “Si se asignan atributos contradictorios a un concepto, afirmo que el concepto no existe en términos matemáticos. Así, por ejemplo, un número real cuyo cuadrado es –1 no existe matemáticamente. Pero si se demuestra que los atributos asignados al concepto nunca pueden conducir a contradicción, mediante la aplicación de un número finito de procesos lógicos, afirmo que así queda demostrada la existencia matemática del concepto”. Así pues, en el caso de los axiomas para los números reales, “la prueba de la compatibilidad [consistencia] de los axiomas es, al mismo tiempo, la prueba de la existencia matemática del sistema completo de números reales o del continuo”. Según esta idea moderna, basta que algo sea lógicamente posible para que ‘exista’ en el sentido matemático.
Es irónico que Hilbert se quisiera hacer pasar por un seguidor de Kant en varios lugares. La concepción que tenía el Kant maduro de la ‘existencia’ matemática es interesante, pero más bien opuesta: es constructivista. La tesis central viene a ser (contra Hilbert, o contra Leibniz y Wolff) que la mera posibilidad lógica de algo es totalmente insuficiente: para que ‘exista’ en sentido matemático se requiere la construcción de ese algo; y la construcción del concepto solo puede mostrarse por medio de la intuición, ya sea empírica o pura.
Tenemos aquí un buen ejemplo de esas enormes transformaciones que sufrió la matemática durante el siglo XIX, y que han llevado a algunos a hablar de un auténtico renacimiento de esta ciencia en los años 1800. En lo tocante a los criterios de existencia de esos extraños seres, los entes matemáticos, se podría decir incluso que tuvo lugar una revolución: la palabra ‘existe’ cambia radicalmente de significado. (Pasó lo mismo con la palabra ‘axioma’.)
Puede mostrarse en detalle que la tesis de Kant encaja perfectamente con lo que era la geometría de Euclides, Arquímedes y Apolonio. En un trabajo magnífico sobre la teoría de las paralelas, J. H. Lambert ponía como ejemplo a Euclides, quien tiene siempre el cuidado de no emplear un concepto geométrico sin antes haber mostrado cómo se puede construir. 
Decía Lambert que Euclides respetó completamente “el principio según el cual cualquier definición, antes de ser probada, es una hipótesis vacía”; y ‘probada’ significa aquí lo mismo que la “construcción en la intuición” de que hablaba Kant. Los dos sabios se conocieron y tuvieron una correspondencia importante, probablemente Lambert influyó en el giro crítico de Kant. También se quejaba Lambert de que dicho principio había quedado “abandonado”, o al menos “muy olvidado” por contemporáneos suyos como C. Wolff, otro matemático y filósofo (muy influyente en la Alemania del XVIII).
En el caso de los números reales, pasaba algo similar. Hasta 1800, los matemáticos se limitaban a trabajar con números reales definidos efectivamente, como sucede con \(\sqrt 3\) o con \(\sqrt{1+\sqrt{3}}\), pero también con el número \(e\). Será unas décadas después cuando se intente por primera vez establecer una definición de la totalidad formada por todos los números reales (Cantor, Dedekind). Hasta el XIX, la práctica de las matemáticas puede decirse que solía ser constructiva.
Resulta curioso ver cómo la discusión que se dio entre Brouwer o Weyl de un lado (el bando intuicionista) y Hilbert y seguidores del otro (el bando mal llamado formalista), durante la “crisis de fundamentos” de los años 1920, tiene un precedente muy claro en el siglo XVIII. Entonces se trató de los seguidores de Leibniz (como Wolff), que eran racionalistas o ‘logicistas’ (en tanto bastaría con la posibilidad lógica), y sus críticos (como Lambert y Kant) que exigían más para determinar la ‘existencia’.
Podemos citar a Christian Wolff respecto a este punto: “Ente [Ding] es todo lo que puede ser, ya se trate de algo real [wirklich] o no” (Wolff 1752, §16). Para Wolff, “ente” es aquello que existe de facto –algo real o actual– o que simplemente puede existir, es decir, aquello cuya existencia “no repugna ni es contradictoria”.
En una página de la Crítica de la razón pura Kant se refiere a estos mismos “entes de razón” [Gedankendinge] como una “nada”, un “mero concepto sin objeto”: no se trata de que sea algo contrario a lo posible (lo que sería una “no-cosa”, Unding), pero el Gedankending (que en inglés se podría traducir thought-thing, literalmente) es “una mera invención aunque no contiene una contradicción”. Aquí encontramos a Kant situado en el bando de los constructivistas, siguiendo a Euclides pero apuntando contra la tendencia ‘logicista’ de Wolff, que luego se transformará en la tendencia hilbertiana.
Curiosamente, Hilbert utiliza incluso la expresión Gedankending para referirse a los ‘objetos ideales’ que él admite sin limitaciones en la matemática. Pero, por cierto, hay que añadir que los números reales todavía no han pasado el filtro de la demostración de consistencia, y los métodos de la lógica matemática no nos ayudarán aquí (recordad a Gödel). De manera que, en los fundamentos de la matemática, sigue abierta la pregunta de si hay un ‘objeto ideal’ que sea el conjunto de los números reales.
Según las enseñanzas de Kant, el maravilloso paraíso de Cantor y Hilbert, con su extrema libertad de conjuntos y estructuras, es simplemente nada: no es más que un horizonte de posibilidades, muy alejado de cualquier cosa que pueda considerarse un “ente real”.
O como dijo Carl Ludwig Siegel, gran experto en teoría de números: “La degeneración de la matemática comenzó con las ideas de Riemann, Dedekind y Cantor, que hicieron retroceder más y más el sólido espíritu de Euler, Lagrange y Gauss.” Doy aquí esta cita para que la idea quede presentada nítidamente, pero no pretendo con eso convenceros; tampoco la hago mía.
Para saber más:
D. Hilbert, Fundamentos de las matemáticas. México, UNAM; 1993.
J. H. Lambert, Teoría de las paralelas, en J. Ferreirós y M. de Paz (eds.), La génesis de la geometría. Madrid, Plaza y Valdés, 2023.
J. Ferreirós, The Crisis in the Foundations of Mathematics, en T. Gowers (ed.), Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, 2008, p. 142-156.
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