La conjetura de Firoozbakht

Todos los matemáticos sabemos que en teoría de números hay numerosos problemas abiertos con enunciado sencillo. Para nosotros, esto es una suerte, no sólo porque podríamos dedicarnos a intentar resolverlos, sino porque nos sirven para tratar de explicar a otras personas que las matemáticas no son una ciencia acabada, sino que existen muchos problemas matemáticos no resueltos y, por tanto, la investigación en matemática pura resulta verdaderamente interesante.

En particular, mencionemos unos cuantos problemas abiertos relacionados con la distribución de los números primos; más en concreto, sobre el tamaño de los huecos entre primos. En lo que sigue, usaremos \(\{p_n\}_{n=1}^\infty\) para denotar la sucesión de los números primos. Así, por orden de antigüedad, tenemos:

• Conjetura de Legendre: entre dos cuadrados consecutivos \(n^2\) y \((n+1)^2\) siempre existe un número primo.
• Conjetura de Oppermann (1882): siempre existe un primo entre \(n^2\) y \(n(n+1)\), y otro primo entre \(n(n+1)\) y \((n+1)^2\).
• Conjetura de Brocard (1904): entre \(p_n^2\) y \(p_{n+1}^2\), con \(n \ge 2\), siempre hay, al menos, cuatro primos.
• Conjetura de Cramér (1936), [3]:
  $$
  \limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log^2(p_n)} = 1.
  $$
• Conjetura de Andrica (1986), [1]: \(\sqrt{p_{n+1}} – \sqrt{p_n} < 1\) para todo \(n\).
  También se puede escribir como \(p_{n+1} – p_n < 2\sqrt{p_n}+1\).

Pero no vamos a analizar aquí esos problemas abiertos sino otro que, aparentemente, es bastante menos conocido, y que tiene muy interesantes relaciones con los anteriores. Se trata de la denominada conjetura de Firoozbakht, que fue propuesta en 1982. La conjetura está recogida en [9, §4.II.A, p. 185] (Ribenboim afirma que se la comunicó Firoozbakht), y en [10] se pueden encontrar bastantes detalles y comentarios. La fotografía que acompaña estas líneas proviene de https://www.instagram.com/p/CRHWcEzsf96/.

Farideh Firoozbakht es una matemática iraní que nació en Isfahán en 1962; con humor, solía expresar la fecha de su nacimiento de la siguiente manera: «¡nací en el año \(987+654+321\), que incluye todos los dígitos del \(9\) al \(1\)!». Falleció en 2019 en un accidente de tráfico. Después de la secundaria, ingresó en la Universidad de Isfahán, donde comenzó a estudiar farmacología. Pero, debido a su interés por las matemáticas, especialmente la teoría de números, se cambió a las matemáticas en el tercer año, y se graduó en 1987. Posteriormente continuó sus estudios de postgrado en la Universidad Tecnológica de Isfahán. Desde 1992 se dedicó a la enseñanza de las matemáticas en varias universidades iraníes. En cuanto a su labor investigadora, el único artículo de investigación que aparece en MathSciNet o en zbMATH es [5]. No hemos localizado más publicaciones suyas que reflejen su labor matemática (tampoco en farsi/persa), pero sí que merece la pena destacar su enorme contribución a https://www.primepuzzles.net durante más de veinte años, tanto proponiendo problemas como resolviendo problemas allí planteados.

La conjetura que ahora lleva su nombre se le ocurrió en 1982, mientras estudiaba la prueba del teorema de los números primos. Afirma lo siguiente:

Conjetura de Firoozbakht (1982): La sucesión \(\sqrt[n]{p_n}\) es estrictamente decreciente. Por ejemplo,
$$
2 > \sqrt[2]{3} > \sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{7} > \sqrt[5]{11} > \sqrt[6]{13} > \cdots.
$$

Cuando formuló su conjetura, Firoozbakht la comprobó, con la ayuda de una tabla de huecos entre primos (y la única computadora de su universidad con el software matemático que ella necesitaba), para primos menores que \(4.444 \cdot 10^{12}\). En 2015, Alexei Kourbatov probó la conjetura para primos menores que \(4 \cdot 10^{18}\) (véanse [7, 8]).

Las conjeturas que hemos mencionado no siempre suscitan el mismo consenso en cuanto a si son o no ciertas. Por ejemplo, basándose en argumentos heurísticos y probabilísticos, Granville [6] sugirió que la conjetura la de Cramér es falsa y que, en realidad, lo que se cumple es
$$
\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log^2(p_n)} \ge 2e^{-\gamma} = 1.122\,918\,967\dots,
$$
donde \(\gamma\) es la constante de Euler-Mascheroni. Relacionado con esta incertidumbre, el enunciado
$$
p_{n+1}-p_n \le M \log^2(p_n)
$$
con \(M>1\), bastante más modesto que la conjetura de Cramér, se suele denominar conjetura de Cramér-Granville.

Utilizando la notación de huecos entre primos, es claro que la conjetura de Firoozbakht se puede escribir en la forma
$$
p_{n+1}-p_n < p_n(\sqrt[n]{p_n} – 1).
$$
Se puede demostrar sin dificultad (véase [4, teorema 2.1]) que, si esa desigualdad se cumple para todo \(n\), entonces
$$
p_{n+1}-p_n < \log^2 (p_n) – \log(p_n) – 1,
\quad n \ge 10.
$$
Como consecuencia,
$$
\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log^2(p_n)} \le 1.
$$
Así pues, la conjetura de Cramér-Granville sería cierta, pero el límite \(2e^{-\gamma}\) sugerido por Granville no podría estar acertado. Por otra parte (véase [8]), si la desigualdad
$$
p_{n+1}-p_n < \log^2 (p_n) – \log(p_n) – 1.17
$$
fuera cierta para \(n \ge 10\), entonces la conjetura de Firoozbakht también sería verdadera.

Pero la conjetura de Firoozbakht no sólo está relacionada con la de Cramér. También es sencillo probar (véase [4, consecuencia 2]) que la conjetura de Firoozbakht implica \(p_{n+1} – p_n < 2\sqrt{p_n}+1\), y, por tanto, la conjetura de Andrica sería cierta. No sólo eso, sino que también implicaría la conjetura de Oppermann (véase [4, consecuencia 3]) y, claro, la de Legendre. Como el lector se podría imaginar, la conjetura de Firoozbakht también implica la de Brocard (véase [4, consecuencia 5]).

Así pues, la conjetura de Firoozbakht no sólo es un precioso enunciado sobre el comportamiento de los primos, sino que es la afirmación más audaz (y razonable) que se conoce sobre los huecos entre primos. Pero, desde luego, está lejos de poder ser demostrada.

De hecho, todo esto está aún bastante alejado de lo que se ha logrado probar con rigor. Dando por cierta la hipótesis de Riemann, Cramér probó, en 1920, que
$$
p_{n+1}-p_n = O\big( \sqrt{n} \log(p_n) \big),
$$
que es una estimación considerablemente peor que lo que se obtiene con la conjetura de Firoozbakht.
Y, sin asumir la hipótesis de Riemann, la mejor cota que se tiene para los huecos entre primos es
$$
p_{n+1}-p_n = O\big( p_n^{0.525} \big),
$$
que fue demostrada por Baker, Harman y Pintz en 2001 (véase [2]).

Referencias

[1] D. Andrica, Note on a conjecture in prime number theory, Stud. Univ. Babe\c{s}-Bolyai Math. 31 (1986), no. 4, 44-48.

[2] R. C. Baker, G. Harman y J. Pintz, The difference between consecutive primes. II, Proc. London Math. Soc. (3) 83 (2001), no. 3, 532-562.

[3] H. Cramér, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers, Acta Arith. 2 (1936), 23-46.

[4] L. A. Ferreira y H. L. Mariano, Prime gaps and the Firoozbakht conjecture, São Paulo J. Math. Sci. 13 (2019), no. 2, 652-662.

[5] F. Firoozbakht y M. F. Hasler, Variations on Euclid’s formula for perfect numbers, J. Integer Seq. 13 (2010), no. 3, Article 10.3.1, 17 pp.

[6] A. Granville, Harald Cramér and the distribution of prime numbers, Scand. Actuar. J. 1995 (1995), no. 1, 12-28.

[7] A. Kourbatov, Verification of the Firoozbakht conjecture for primes up to four quintillion, Int. Math. Forum 10 (2015), no. 6, 283-288.

[8] A. Kourbatov, Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht’s conjecture, J. Integer Seq. 18 (2015), no. 11, Article 15.11.2, 7 pp.

[9] P. Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, 2.^a ed., Springer, New York, 2004.

[10] C. Rivera (editor), Conjecture 30, The Firoozbakht Conjecture, Problems & Puzzles: Conjectures,
https://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_030.htm; Farideh Firoozbakht (1962-2019^†), The Puzzlers, https://www.primepuzzles.net/thepuzzlers/Firoozbakht.htm.