Una antinomia no es lo mismo que una paradoja o una contradicción, por mucho que en matemáticas las tres palabras se usen alguna vez como sinónimos. Se habla de las paradojas de la teoría de conjuntos (la de Russell, la de Cantor, etc.), nombre demasiado blando cuando se trata de contradicciones que surgieron en una teoría naif de conjuntos. Por su parte, una antinomia no es otra cosa que una antítesis inevitable, un par de proposiciones contradictorias tales que cada una de ellas es deducible a partir de principios de la razón. Algo peor que una contradicción, pues.
Riemann fue filósofo además de matemático y físico: todo un renacentista, multidisciplinar. Y fue entre sus manuscritos filosóficos donde se encontró un fragmento titulado ‘Antinomias’, que me gustaría comentar. Me voy a centrar en la primera de sus antinomias, cuyo tema es matemático. El lector puede encontrar todo el texto, en alemán y español, publicado en el libro Riemanniana Selecta que se editó en 2000.
Para empezar, es sumamente llamativo que Riemann haya escrito este texto, cuyo referente no puede ser otro que las famosas contradicciones o “conflictos dialécticos” de la razón pura que Kant planteó y analizó a lo largo de 100 páginas de su Crítica de la razón pura. Son de las páginas más célebres de Kant. Dice mucho de su confianza y su atrevimiento como pensador que Riemann tuviera el valor de enmendar la plana a una de las secciones más admiradas y respetadas de la magna obra kantiana.
Riemann piensa que en los conceptos que empleamos para enfrentarnos a la experiencia (tanto la del mundo externo como nuestros fenómenos mentales) subyacen antítesis y contraposiciones inevitables. Ahora bien, el detalle de estas antinomias no coincide con las planteadas por Kant, como tampoco coinciden ambos autores en su manera de entender las relaciones entre tesis y antítesis de cada antinomia. Tan significativas como la similitud externa en el trabajo de ambos, son las desviaciones que introduce Riemann frente al filósofo de Königsberg.
La primera antinomia de Kant tiene que ver con las nociones de espacio y tiempo: a la tesis de que el mundo tiene un límite espacial y un inicio temporal, se contrapone la antítesis de que el mundo es infinito en los dos sentidos. La contraposición entre finitud e infinitud aparece también en la tabla riemanniana, pero no como una antinomia particular, sino en el encabezamiento mismo: todas las tesis de Riemann tendrían que ver con lo finito, y todas las antítesis con lo infinito.
La primera antinomia de Riemann contrapone “Elementos espaciales y temporales finitos” frente a la idea del “continuo”. Se trata pues de un tema clásico del pensamiento matemático: el contraste entre lo discreto y lo continuo. Y algo muy interesante es que esa primera antinomia de Riemann tiene un reflejo directo en la célebre e impresionante lección sobre geometría de 1854: ‘Sobre las hipótesis en que se funda la geometría’; en ella se mantiene hasta el final, abierta, la duda acerca de si la realidad subyacente a nuestras representaciones espaciales es discreta o continua. (La segunda antinomia es la contraposición entre “Libertad”, es decir, no el poder de iniciar algo absolutamente, sino el de decidir entre dos o más posibilidades dadas, y “Determinismo”. Un tema muy filosófico y muy actual.)
Siempre he pensado que Riemann demostró tener una sensibilidad matemático-filosófica muy fina al presentar la elección entre lo discreto y lo continuo como un tema que sería siempre problemático. La tradición de la física matemática ha trabajado mucho con modelos continuos de los fenómenos físicos, cosa que se hace incluso en el contexto de la física cuántica. Pero mucha gente se ha preguntado si no sería posible entender el mundo desde un espacio y un tiempo discretos: el intento se ha hecho una y otra vez, aparentemente sin buenos resultados. Pues bien: el filósofo Riemann nos está advirtiendo de que no lograremos salir de una antítesis, de una elección entre opciones contradictorias; nos avisa de que la razón no puede ni podrá encontrar un argumento definitivo para una de las opciones.
Si ahora dejamos la cuestión filosófica y miramos un poco a la historia de las matemáticas, es evidente que la tensión entre lo discreto y lo continuo ha sido uno de los grandes motores del pensamiento matemático. En el origen de las matemáticas (hace miles de años) están la aritmética y los problemas de geometría; los números naturales son el prototipo de lo discreto, mientras que la geometría condujo a la idea del continuo. Del intento de combinar ambas cosas surgieron nuevos sistemas de números: las fracciones y los irracionales, hasta tener el sistema de los números reales (en el siglo XVII, quizá, aunque hay apuntes mucho antes, entre los matemáticos árabes hacia el año 1000). Surgieron también híbridos como la geometría analítica de Descartes, donde el recurso a los reales –vía coordenadas– permitió la introducción de potentes métodos algebraicos. Y más tarde aparecerían nuevos híbridos, como el plano complejo, etc.
Pero se tardó todavía mucho en tener un análisis adecuado del significado de continuo, cuando hablamos de una recta continua o del continuo de los reales. El concepto es tan delicado y difícil de capturar que se trabajó en torno a él durante cientos de años, sin que nadie lograra fijarlo y determinarlo bien. Dedekind en 1872 y Cantor en 1883 fueron los primeros en proponer definiciones satisfactorias de la continuidad.
En ese momento se pudo pensar que la tensión entre lo discreto y lo continuo se había logrado superar definitivamente; que la teoría de conjuntos había logrado el milagro de salvar el abismo que separa ambas ideas. Pero en realidad el problema reaparecía bajo nuevas formas. Por una parte, las críticas que recibió la teoría de conjuntos dieron lugar a la célebre polémica de los fundamentos, que siempre ha girado en torno a la escurridiza idea de continuidad. Recuerdo que Hilbert intentó salvar el tema con una demostración de consistencia de ZFC, pero esa demostración es imposible (Gödel). Por otra parte, el problema dio lugar a la cuestión más simple que uno puede formular en teoría de conjuntos: ¿cuál es el cardinal de \(\mathbb R\)? ¿\(\aleph_1\)? Que esta cuestión haya resultado ser indecidible representa todo un conflicto para la teoría.
El encabezamiento de la tabla de Riemann, y sus comentarios acerca de la relación general entre tesis y antítesis, resultan especialmente interesantes como fuente para conocer algunas de sus opiniones sobre los fundamentos de la matemática. Ya hemos dicho que las tesis designan siempre algo “finito, representable”, mientras las antítesis presentan algo “infinito, sistemas conceptuales que se sitúan en las fronteras de lo representable”. Más concretamente,
Los sistemas conceptuales de la antítesis son precisamente conceptos determinados mediante predicados negativos, pero no son representables positivamente.
Esto es algo que la tradición teológica había dicho siempre del concepto de Dios; pero Riemann está diciendo que tampoco podemos representarnos de modo positivo los conceptos, centrales en matemática, del infinito y del continuo (ni, por lo demás, la idea del alma o la de un Dios intemporal). Su buen amigo Dedekind mostraría, unos años después, que estaba equivocado.
A diferencia de lo que sucede en Kant, tesis y antítesis de cada antinomia riemanniana guardan entre sí una relación interna. El modelo de esta relación viene dado por el método de límites que se emplea para fundamentar el análisis infinitesimal, y que Riemann asocia, no ya con Cauchy o con d’Alembert, sino con el mismo Newton. Aunque los conceptos de la antítesis no son representables como tales, están bien determinados, y para cada uno de ellos es posible construir un sistema conceptual finito que, “por pura variación de las relaciones de magnitud”, nos da en el límite el sistema de la antítesis. Esto establece la aceptabilidad de los conceptos manejados en la antítesis, pero no elimina la antinomia: el mundo puede ser, o bien discreto, o continuo; o bien Dios es intemporal, u obra en el tiempo; y así en los demás casos. Si ahora nos preguntamos si Riemann se decanta por alguna de las alternativas, en mi opinión la situación es la contraria: las antinomias se presentan con toda seriedad, y Riemann se nos aparece (como veremos, y con todos los respetos) como el asno de Buridán.
Para saber más:
Riemanniana Selecta, ed. J. Ferreirós. Madrid, CSIC, 2001.
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