La conjetura jacobiana

Comencemos fuerte, enunciando la conjetura con detalle:

Conjetura jacobiana [Primera forma]. Sea \(F = (F_1,F_2,\dots,F_n) : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) una función polinomial, es decir, una aplicación de la forma
$$(x_1,x_2,\dots,x_n) \mapsto (F_1(x_1,x_2,\dots,x_n), F_2(x_1,x_2,\dots,x_n), \dots, F_n(x_1,x_2,\dots,x_n))$$ donde cada \(F_i\) es un polinomio en \(n\) variables, y sea
$$\operatorname{Jac}(F) = \left( \frac{\partial F_i}{\partial x_j} \right)_{1\le i,j\le n}$$
el jacobiano de \(F\); tomemos, además, su determinante \(\det(\operatorname{Jac}(F)) : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}\). Si el determinante \(\det(\operatorname{Jac}(F))\) no se anula para ningún \((x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{C}^n\), entonces \(F\) es inyectiva y la aplicación inversa es, de nuevo, una función polinomial.

Antes de seguir, ilustremos el caso \(n=1\), en el que \(F(x)\) es un polinomio en una variable, y el determinante de su jacobiano es \(F'(x)\), que es un polinomio de grado uno menos que el de \(F(x)\). El teorema fundamental del álgebra nos dice que un polinomio de grado \(k\) tiene exactamente \(k\) raíces en \(\mathbb{C}\) (contando su multiplicidad); así que, si el polinomio \(F'(x)\) no se anula, debe ser una constante no nula. En consecuencia, \(F(x) = ax+b\) con \(a\ne0\) y, por tanto, \(F^{-1}(x) = (x-b)/a\). De este modo, acabamos de probar que la conjetura es cierta en el caso \(n=1\). ¿Qué ocurre con dimensiones mayores? Al menos, ya no hay argumentos elementales que nos lleven a una conclusión.

Así como en teoría de números es relativamente sencillo plantear problemas abiertos cuyo enunciado es fácil de entender sin ser un especialista en el tema, en otros campos de la matemática esto ya no es tan común, y se necesitan conocimientos avanzados sólo para comprender la pregunta. La conjetura jacobiana es una excepción en este sentido. Se enmarca dentro de lo que se suele determinar geometría algebraica y, para formularla, bastan unos pocos conocimientos elementales de cálculo en varias variables, algo que se estudia en los primeros cursos de cualquier carrera científica o en ingeniería.

¿Quién planteó esta conjetura? Por el nombre, podríamos pensar que fue Jacobi. ¡Pues no! Fue el matemático alemán Ott-Heinrich Keller quien propuso la conjetura jacobiana en 1939, aunque sólo lo hizo para \(n=2\) (y para polinomios con coeficientes enteros); en concreto, en el artículo [7]. Realmente, existe otra conjetura que se denomina conjetura de Keller, pero no tiene nada que ver con la conjetura jacobiana; la propuso él mismo en 1930 y trata sobre teselaciones del espacio euclídeo \(n\)-dimensional mediante hipercubos idénticos. Quien más hizo por popularizar la conjetura jacobiana fue el matemático indio (afincado en EE. UU.) Shreeram Abhyankar, precisamente como ejemplo de problema difícil en geometría algebraica que podía ser comprendido con poco más que un conocimiento elemental de cálculo.

La conjetura jacobiana es el número 16 de la lista de problemas matemáticos para el siglo XXI que elaboró Stephen Smale en 1998 (véase [8]). Smale compuso su lista de 18 problemas no resueltos como respuesta a la petición de Vladimir Arnold, entonces presidente de la Unión Matemática Internacional, de listar los problemas matemáticos más interesantes para el siglo XXI, inspirado en la lista de problemas de Hilbert propuestos en 1900. Realmente (y así está enunciada la conjetura en la lista de Smale), la conjetura jacobiana se puede plantear con polinomios en un cuerpo que no sea el de los complejos, pero aquí no nos preocuparemos de ello.

Enunciados alternativos

Aunque para lo que aquí pretendemos no tiene mucha importancia, merece la pena mencionar que la tesis de que «y la aplicación inversa es, de nuevo, una función polinomial» es superflua. En efecto, si una función polinomial \(F: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) es una aplicación inyectiva, forzosamente es biyectiva y su aplicación inversa es otra función polinomial (véase [2]).

Por otra parte, en la conjetura hemos impuesto como hipótesis que el determinante \(\det(\operatorname{Jac}(F))\) no se anule. Pero la única manera de que ese determinante no se anule es que sea constante (una constante no nula, claro). En efecto, el determinante es, obviamente, de nuevo un polinomio en las variables \((x_1,x_2,\dots,x_n)\). Y, si no es constante en alguna de las variables \(x_j\) (las demás las consideramos fijas), el teorema fundamental del álgebra (aplicado a polinomios en la variable \(x_j\)) prueba que se tiene que anular.

Así, en el enunciado de la conjetura, en lugar de suponer que el determinante \(\det(\operatorname{Jac}(F))\) no se anula para ningún \((x_1,x_2,\dots,x_n)\), podíamos haber supuesto la condición \(\det(\operatorname{Jac}(F)) = \text{cte} \ne 0\). Y, sin pérdida de generalidad, se puede asumir que esa constante es \(1\).

Es fácil demostrar que el recíproco de la conjetura sí que es cierto: si la función polinomial \(F\) es inyectiva, entonces el determinante de su jacobiano es constante. En efecto, sea \(G\) la inversa de \(F\), con lo cual \(G(F(x)) = x\) (con \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\)).
Entonces, por la regla de la cadena sobre el jacobiano de la función compuesta,
$$I = \operatorname{Jac}(x) = \operatorname{Jac}(G \circ F)(x) = \operatorname{Jac}(G)(F(x)) \cdot \operatorname{Jac}(F)(x)$$
donde \(I\) es la matriz identidad \(n \times n\). De aquí que
$$\det (I) = 1 = \det(\operatorname{Jac}(G)(F(x))) \cdot \det(\operatorname{Jac}(F)(x)).$$
Como \(\det(\operatorname{Jac}(G)(F(x)))\) y \(\det(\operatorname{Jac}(F)(x))\) son polinomios en \(n\) variables y su producto vale \(1\), ambos polinomios deben ser constantes no nulas; en particular, \(\det(\operatorname{Jac}(F)(x)) = \text{cte} \ne 0\), como queríamos comprobar.

Teniendo en cuenta los comentarios anteriores, podemos escribir la conjetura así:

Conjetura jacobiana [Segunda forma]. Sea \(F : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) una función polinomial tal que \(\det(\operatorname{Jac}(F)) = 1\). Entonces \(F\) es inyectiva.

O también de este modo, que se asemeja al teorema de Rolle en una dimensión:

Conjetura jacobiana [Tercera forma]. Sea \(F : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) una función polinomial. Si \(F(a) = F(b)\) para ciertos \(a,b\in\mathbb{C}^n\) distintos, entonces existe \(x \in \mathbb{C}^n\) tal que \(\det(\operatorname{Jac}(F)(x)) = 0\).

En una dimensión, está claro cuáles son los polinomios \(F\) tales que el determinante de su jacobiano es \(F'(x)=1\). Son los polinomios de la forma \(F(x)=x+b\), y ya sabemos que la conjetura es cierta en este caso (la inversa de \(F\) es \(F^{-1}(x) = x-b\)). Para \(n \ge 2\), la estructura de las funciones polinomiales \(F\) tales que \(\det(\operatorname{Jac}(F))=1\) no está clara, y es también un problema interesante.

En dimensión dos, un ejemplo es la función polinomial
$$F(x,y) = (x^2 + y + x, x^2 + y).$$
Es inmediato comprobar que el determinante del jacobiano de \(F\) es \(1\); y además, si denotamos \(u = x^2 + y + x\), \(v = x^2 + y\) (ambos polinomios de grado \(2\)), asimismo es fácil ver que la función inversa es \(x = u – v\), \(y = v – (u-v)^2\). Con una pequeña modificación, tomando \(u = 2x^2 + y\), \(v = x^2 + y\), el determinante del jacobiano es \(2x\), que ya no es constante (de hecho, se anula en cualquier \((x,0)\)), luego no es una función polinomial que cumpla la hipótesis de la conjetura; esta función tiene inversa (local), pero ya no es una función polinomial: \(x = \sqrt{u-v}\), \(y = 2v-u\).

También en dimensión dos, un ejemplo más complicado es la función \(F = (f, g)\) dada por
$$\begin{aligned}
f(x,y) &= x – 2 (x + y^2) y – (x + y^2)^2 = x – x^2 – 2 x y – 2 x y^2 – 2 y^3 – y^4, \\
g(x,y) &= x + y + y^2.
\end{aligned}$$
Y, en dimensión tres, un ejemplo es \(F = (f,g,h)\) con
$$\begin{aligned}
f(x,y,z) &= x – 2(xz+y^2)y – (xz+y^2)^2z, \\
g(x,y,z) &= y + (xz+y^2)z, \\
h(x,y,z) &= z
\end{aligned}$$
(esta función polinomial la propuso Masayoshi Nagata, en 1972, como candidata a contraejemplo de otra conjetura que aquí no mencionaremos). Por supuesto, ninguno de estos dos ejemplos, en los que comprobar \(\det(\operatorname{Jac}(F))=1\) es un mero trámite, es contraejemplo de la conjetura jacobiana, sino que ambos dan lugar a funciones inyectivas. Pero, realmente, no sólo no es fácil encontrar la función inversa cuando el grado de los polinomios involucrados no es \(1\) o \(2\), sino que ni siquiera lo es comprobar si esas funciones polinomiales son inyectivas (la imagen de \(F\) no está en \(\mathbb{R}\), sino en \(\mathbb{C}^n\)); así que, aunque tuviéramos un contraejemplo a nuestra vista, no es inmediato darse cuenta de ello.

Queremos asimismo mencionar que, si la conjetura se plantea para funciones analíticas, ya no es cierta ni siquiera con \(n=2\). El contraejemplo que se suele mostrar es
$$F(x, y) = \left(\sqrt{2} e^{x/2} \cos(ye^{-x}), \sqrt{2} e^{x/2} \operatorname{sen}(ye^{-x})\right).$$
Es fácil comprobar que \(\det(\operatorname{Jac}(F))=1\), pero \(F\) no es inyectiva pues, por ejemplo, \(F(0,y+2k\pi) = F(0,y)\) para todo \(k \in \mathbb{Z}\).

¿Qué se sabe?

Pese a los muchos esfuerzos que han dedicado excelentes matemáticos, la conjetura jacobiana permanece abierta para \(F = (F_1,F_2,\dots,F_n)\) con \(n \ge 2\) en general, y parece un problema extremadamente difícil de resolver (se han publicado varias supuestas demostraciones que han resultado ser erróneas). Ni siquiera se sabe si es cierta en el caso \(n=2\) (además, y aunque hemos dicho que no nos íbamos a ocupar de la conjetura jacobiana en otros cuerpos distintos de \(\mathbb{C}\), sí que vamos a mencionar que la conjetura también permanece abierta si consideramos funciones polinomiales \(F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) con \(\det(\operatorname{Jac}(F))=1\)). Se ha conseguido demostrar algunos resultados parciales, pero no es mucho lo que se ha avanzado.

Utilizando álgebra lineal es fácil probar que la conjetura jacobiana es cierta si todos los polinomios \(F_i\) tienen grado \(1\) (si alguno de los \(F_i\) tiene grado \(0\), es obvio que \(\det(\operatorname{Jac}(F))=0\), luego no hay que preocuparse de ello). El siguiente paso es analizar qué ocurre cuando el grado de todos los \(F_i\) es menor o igual que \(2\). En 1980, Stuart Wang [14] probó que, en este caso, la conjetura jacobiana también es cierta. La demostración de este hecho no es complicada, y se puede ver, por ejemplo, en [9, proposición 1.5, p. 57].

Un resultado relevante es que, si se lograra demostrar la conjetura para todo \(n \ge 2\) y todas las funciones polinomiales \(F\) tales que los grados de los \(F_i\) son a lo sumo \(3\), entonces la conjetura jacobiana sería cierta (véase [1] o [9, teorema 1.6, p. 57]). Más aún (véase [3] o [9, teorema 1.7, p. 58]), bastaría demostrar la conjetura para todos los \(n \ge 2\) y todas las funciones polinomiales \(F(x_1,x_2,\dots,x_n)\) de la forma
$$\Bigg(x_1 + \bigg(\sum_{j=1}^n a_{1,j}x_j\bigg)^{\!3},
x_2 + \bigg(\sum_{j=1}^n a_{2,j}x_j\bigg)^{\!3}, \dots,
x_n + \bigg(\sum_{j=1}^n a_{n,j}x_j\bigg)^{\!3} \Bigg),$$
donde las \(a_{i,j}\) son constantes. En particular esto hace que, si la conjetura es falsa, debe existir un contraejemplo con los \(F_i\) de grado menor o igual que \(3\).

Posiblemente la mayoría de los matemáticos que han estudiado en profundidad la conjetura jacobiana opinan que no hay buenos argumentos para pensar que la conjetura deba ser cierta, sino que debe existir algún contraejemplo. Por supuesto, se ha intentado encontrar contraejemplos con ayuda de ordenadores, pero sin éxito. En particular, el que esto escribe estuvo intentándolo durante varias semanas hace unos pocos años, hasta que cayó derrotado por la dificultad de la tarea.

Para obtener más información sobre la historia de la conjetura jacobiana y su estado actual, se puede acudir a los artículos [9, 10] de Arno van den Essen (uno de los matemáticos que más ha trabajado sobre la conjetura), así como los libros [11, 12] del mismo autor (el segundo es una actualización del primero escrito con colaboradores).

Podemos asimismo recomendar los excelentes artículos [4, 5, 6, 13] donde, además, se puede ver la conexión de la conjetura con otros problemas también abiertos y otros campos de la matemáticas. Aunque la veracidad o falsedad de la conjetura permanece incierta, los esfuerzos dedicados a ello han generado múltiples avances en áreas de las matemáticas como la geometría algebraica, el álgebra conmutativa y los sistemas dinámicos, entre otras.

Agradecimentos. Agradezco a Armengol Gasull su atenta lectura de una versión preliminar de este escrito. Él sabe \(M/\varepsilon\) más que yo de este tema, así que sus comentarios y sugerencias me han permitido mejorar el contenido final de lo que aquí se ha expuesto.

Referencias

[1] H. Bass, E. H. Connell y D. Wright, The Jacobian conjecture, reduction of degree and formal expansion of the inverse, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1982), no 2, 287-330.

[2] A. Białynicki-Birula y M. Rosenlicht, Injective morphisms of real algebraic varieties, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), no. 2, 200–203.

[3] L. M. Drużkowski, An effective approach to Keller’s Jacobian conjecture, Math. Ann. 264 (1983), no. 3, 303–313.

[4] J.-P. Françoise, From Abel equations to Jacobian conjecture, Proceedings of the Conference “New Trends in Dynamical Systems” (Salou, 2012), Publ. Mat. 58 (S1) (2014), 209–219.

[5] A. Gasull, Conjectures, Butl. Soc. Catalana Mat. 36 (2021), no. 1, 69–113.

[6] A. Gasull, Some open problems in low dimensional dynamical systems, SeMA Journal 78 (2021), 233–269.

[7] O. H. Keller, Ganze Gremona-Transformationen, Monatsh. Math. Phys. 47 (1939), no. 1, 299–306.

[8] S. Smale, Problemas matemáticos para el próximo siglo, La Gaceta de la RSME 3 (2000), no. 3, 413–434.

[9] A. van den Essen, Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture, \textit{Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants} (Reims, 1995), 55–81, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997.

[10] A. van den Essen, To believe or not to believe: the Jacobian conjecture, Jacobian conjecture and dynamical systems (Torino, 1997), Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino 55 (1997), no. 4, 283–290 (1999).

[11] A. van den Essen, Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture, Progress in Mathematics, 190, Birkhäuser Verlag, Basel, 2000.

[12] A. van den Essen, S. Kuroda y A. J. Crachiola, Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture: New results from the beginning of the 21st century, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser/Springer, Cham, 2021.

[13] A. van den Essen, D. Wright y W. Zhao, On the image conjecture, J. Algebra 340 (2011), 211–224.

[14] S. S.-S. Wang, A Jacobian criterion for separability, J. Algebra 65 (1980), no. 2, 453–494.