En esta entrada hablaremos de la transformada de Fourier y de algunas de sus aplicaciones.
La transformada
Con frecuencia, para describir la evolución de un fenómeno con origen en física, química, ingeniería, etc., debemos trabajar con funciones más o menos complicadas. Si la función está definida en un intervalo acotado, los argumentos presentados en la primera parte de esta entrada (véase Fourier (I)) dicen qué podemos hacer: descomponerla como suma de funciones (relativamente) sencillas y después (eventualmente), truncar o aproximar la suma.
Se observa que esto corresponde al caso de funciones periódicas definidas en toda la recta real.
Con carácter general, dada \(f : {\bf R} \to {\bf R}\) periódica de período \(T\) y (por ejemplo) continua, podemos escribir que coincide en un cierto sentido (en casi todo punto) con la correspondiente serie de Fourier:
\[
f(t) = \sum_{n} c_n e^{2\pi i nt / T} .
\]
Cuando la función no es periódica, tiene sentido interpretarla como límite de funciones periódicas cuyos períodos tienden a \(+\infty\). Tras un cálculo formal, vemos que, en vez de un conjunto numerable de coeficientes \(c_n\) asociados a las frecuencias \(\omega_n := n/T\), obtenemos una función \(\hat f = \hat f(s)\) que determina “cuánto” interviene la frecuencia \(s\) en los valores que toma \(f\).
El paso al límite cuando \(T \to +\infty\) conduce a la siguiente expresión
\[
\hat f(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-2\pi i st} \,dt , \quad s \in {\bf R}.
\]
La aplicación \(f \mapsto \hat{f}\), que a cada \(f\) con ciertas propiedades de integrabilidad asocia la correspondiente \(\hat{f}\), se denomina transformada de Fourier. Será denominada \({\cal F}\) en esta entrada.
Algunos ejemplos sencillos de transformada son los siguientes:
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Sea \(\Pi(t) = 1\) si \(|t| < 1/2\) y \(\Pi(t) = 0\) si \(|t| > 1/2\) (la función sombrero). Entonces \(\hat{\Pi}(s) = \sin(\pi s)/(\pi s)\) para todo \(s \in {\bf R}\).
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Pongamos ahora \(\Lambda(t) = 1 – |t|\) si \(|t| < 1\) y \(\Lambda(t) = 0\) si \(|t| > 1\) (la función triángulo). Entonces resulta que \(\hat\Lambda(s) = (\sin(\pi s)/(\pi s))^2\) en \({\bf R}\).
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Para \(G(t) := e^{-\pi t^2}\) (la función gaussiana normalizada), tenemos \(\hat G = G\), es decir, \(\hat G(s) := e^{-\pi s^2}\) para todo \(s \in {\bf R}\).
La aplicación \(f \mapsto \hat{f}\) está bien definida en el espacio de las funciones integrables en \({\bf R}\) y posee las propiedades siguientes:
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Es lineal continua y biyectiva, con inversa \({\mathcal F}^{-1}\), de modo que \[({\mathcal F}^{-1} g)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(s) e^{2\pi i st} \,ds , \quad t \in {\bf R}.\]
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Si \(f\) es par o impar, lo mismo puede decirse de su transformada \(\hat f\). Por otra parte, si \(f\) es par, \(\hat f\) toma valores reales y si \(f\) es impar, \(\hat f\) toma valores imaginarios puros.
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La trasformada de un producto coincide con la convolución de las transformadas siempre que todas ellas existan. En otras palabras, \[{\mathcal F} (fg)(s) = (\hat{f}*\hat{g})(s) := \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(s-r) \hat{g}(r) \,dr , \quad s \in {\bf R}.\]
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Una propiedad totalmente análoga puede enunciarse para la transformada inversa. También es cierto por tanto que la transformada de una convolución es el producto de las transformadas, es decir: \[{\mathcal F} (f*g)(s) = (\hat{f}\hat{g})(s) , \quad s \in {\bf R}.\] Esta última igualdad es muy importante en las aplicaciones. En efecto, es natural interpretar \(f*g\) como una señal \(f\) “contaminada” por un “ruido” \(g\); conocida \(f*g\) y calculada \({\mathcal F} (f*g)\), una estimación de \(\hat{g}\) nos permitiría calcular al menos de manera aproximada \(\hat{f}\) y después \(f\).
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Siempre que tenga sentido, \[ ({\mathcal F} f’)(s) = 2\pi i s \hat{f}(s) , \quad s \in {\bf R}.\]
La transformada de Fourier también se puede definir en espacios de funciones de varias variables. De este modo, se convierte en una herramienta muy natural para estudiar la propagación de ondas. También resulta útil en mecánica cuántica, jugando un papel esencial por ejemplo en la determinación de funciones de onda.
Las aplicaciones
La transformada de Fourier posee aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas (teoría de números, combinatoria, cálculo de probabilidades, estadística, ecuaciones diferenciales), en física e ingeniería (procesamiento de señales, óptica, mecánica ondulatoria) y en otras ciencias.
En la práctica, en las fórmulas \(\hat f(s) = ({\mathcal F}f)(s)\) y \(f(t) = ({\mathcal F}^{-1}\hat{f})(t)\) las variables \(t\) y \(s\) suelen estar asociadas a las dimensiones del tiempo (segundos) y la frecuencia (hercios). Pero también podemos pensar en una función definida en el dominio “espacial” (por ejemplo, la temperatura de una barra infinita idealizada) e intentar descomponer la misma atendiendo a las correspondientes frecuencias.
Mencionemos campos de trabajo donde la transformada cobra importancia:
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En el contexto del procesamiento de señales, la transformada de Fourier se utiliza para interpretar señales en términos de frecuencia. De este modo, se tiene acceso a una información que no resulta clara en el dominio temporal; por ejemplo, el ancho de banda donde se concentra la energía.
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Acceder a esta información queda claramente ilustrado en la transmisión del sonido: si pudiéramos “ver” el sonido, apreciaríamos el movimiento de moléculas de aire oscilando hacia delante y hacia atrás con gran rapidez; pero lo que nos está permitido es “oír”, esto es, percibir frecuencias. Por ejemplo, al hacer sonar una tecla de un piano, no sentimos sacudidas de aire en nuestro oído a razón de 250 vibraciones por segundo, sino un simple tono. El movimiento del aire es la señal y el tono es la transformada de Fourier de dicha señal.
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También se utiliza la transformada de Fourier en relación con el tratamiento digital de imágenes, por ejemplo para mejorar la definición en zonas no bien definidas.
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Adicionalmente, son objetos de interés los materiales compuestos, cuya composición puede ser determinada al analizar las distintas frecuencias electromagnéticas que les caracterizan.
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En finanzas, el precio de algunos productos derivados puede expresarse como una ecuación diferencial estocástica. Usando la transformada de Fourier es posible conseguir una valoración de los productos derivados, uno de los activos financieros más importantes debido a su flexibilidad para la mitigación del riesgo.
Para saber más: convertir EDP en EDO
La transformada convierte problemas en derivadas parciales en problemas diferenciales ordinarios. Se pueden dar ejemplos relativamente sencillos como el que sigue.
Consideremos la EDP unidimensional del calor en todo \({\bf R} \times {\bf R}_+\):
\[
u_t – u_{xx} = 0, \quad (x,t) \in {\bf R} \times {\bf R}_+ .
\]
Aceptemos que es posible definir la trasformada de Fourier en la variable \(x\) de \(u(\cdot\,,t)\) (es decir, de la función \(x \mapsto u(x,t)\)) para cada \(t\). Entonces, si llamamos \(v(\cdot\,,t)\) a dicha transformada, de la EDP anterior se deduce fácilmente que, para cada \(s \in {\bf R}\), la función \(t \mapsto v(s,t)\) es solución de
\[
v_t + 4 \pi^2 |s|^2 v = 0, \quad s \in {\bf R}_+ .
\]
Si la EDP de partida está complementada con la condición inicial \(u(\cdot\,,0) = u_0\) y tiene sentido hablar de la transformada \(v_0\) de \(u_0\), tenemos que
\[
v(s,t) = e^{-4\pi^2|s|^2 t} v_0(s) \ \text{ en } \ {\bf R} \times {\bf R}_+
\]
y recurriendo ahora a la transformada inversa, conseguimos (al menos formalmente) los valores de la solución \(u\):
\[
u(x,t) = ({\mathcal F}^{-1}v(\cdot\,,t))(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} G(x-y,t) u_0(y) \,dy ,
\]
donde \(G = G(x,t)\) se denomina “núcleo de Green”. Claramente, para cada \(t\), \(G(\cdot\,,t)\) es la transformada inversa de \(s \mapsto e^{-4\pi^2|s|^2 t}\).
Este procedimiento se puede justificar rigurosamente (y por tanto la fórmula anterior es totalmente válida) si, por ejemplo, \(u_0 \in L^2({\bf R})\). También es posible aplicarlo en dimensión superior.
Por otra parte, combinado con estrategias de resolución bien conocidas (y más precisamente el principio de Duhamel), el argumento permite determinar también las soluciones de EDP no homogéneas
\[
u_t – u_{xx} = f(x,t), \quad (x,t) \in {\bf R} \times {\bf R}_+ ,
\]
para funciones \(f\) adecuadas.
De modo análogo, se pueden resolver EDP de ondas, sistemas de Lamé (y otras EDP de elasticidad lineales más generales), EDP de Schrödinger, etc., en \({\bf R}^N \times {\bf R}_+\) para distintos valores de \(N\).
Las fórmulas que se obtienen permiten deducir una gran cantidad de propiedades de las soluciones: regularidad, propagación de singularidades, comportamiento cuando \(t \to 0^+\) y/o cuando \(t \to +\infty\) y muchas cosas más; para detalles, véanse por ejemplo las referencias [2]-[6].
En particular, en el contexto de las soluciones de la EDP de Schrödinger adimensionalizada
\[
iu_t + u_{xx} = 0, \quad (x,t) \in {\bf R} \times {\bf R}_+ ,
\]
la transformada de Fourier y sus propiedades permiten demostrar de manera rigurosa el principio de incertidumbre de Heisenberg.
En efecto, las soluciones \(u = u(x,t)\) tienen norma \(\int |u(x,t)|^2 \,dx\) independiente de \(t\). Si ésta es igual a \(1\), se puede interpretar que \(u(\cdot\,,t)\) es la función de onda de la posición de una partícula y que su trasformada de Fourier en la variable \(x\) es la función de onda del momento lineal. En otras palabras, que para cada \(t\) la probabilidad de que la partícula esté en el conjunto medible \(B \subset {\bf R}\) (resp. posea momento lineal \(s \in B\)) es
\[
{\mathbb P_0}(B,t) := \int_B |u(x,t)|^2 \,dx
\ \ \text{(resp. } {\mathbb P_1}(B,t) := \int_B |({\mathcal F} u(\cdot\,,t))(s)|^2 \,ds ).
\]
Fijado el tiempo \(t\), denominemos \(x_0(t)\) y \(s_0(t)\) la posición media y el momento lineal medio de la partícula. Entonces las varianzas asociadas a estas leyes de probabilidad son, respectivamente,
\[
\sigma_0^2 := \int_{-\infty}^{+\infty} (x-x_0(t))^2 |u(x,t)|^2 \,dx
\ \text{ y } \ \sigma_1^2 := \int_{-\infty}^{+\infty} (s-s_0(t))^2 |({\mathcal F} u(\cdot\,,t))(s)|^2 \,ds
\]
y un cálculo adecuado conduce a la desigualdad
\[\sigma_0^2 \sigma_1^2 \geq c_0,\]
donde \(c_0\) es una constante positiva. Esto quiere decir que, en términos probabilísticos, hay un límite inferior a la precisión con la que se puede medir simultáneamente la posición y la velocidad de una partícula.
Desde un punto de vista experimental, esta propiedad es perfectamente razonable en mecánica cuántica: al medir la posición de una partícula interactuamos con ella de manera que su momento lineal (y por tanto su velocidad) cambia y perdemos información sobre la misma.
En la tercera parte de esta entrada hablaremos de la transformada rápida de Fourier.
Referencias
- R. Albertini and others, Fourier transform-based method for quantifying the three-dimensional orientation distribution of fibrous units. Scientific Reports volume 14, Article number: 1999 (2024).
- R.N. Bracewell, The Fourier transform and its applications, 3rd edition. McGraw-Hill Series in Electrical Engineering. Circuits and Systems. McGraw-Hill Book Co., New York, 1986.
- J.R. Hanna, J.H. Rowland, Fourier series, transforms, and boundary value problems, 2nd edition. Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley \&\ Sons, Inc., New York, 1990.
- B. Osgood, Lectures on the Fourier transform and its applications. Pure and Applied Undergraduate Texts, 33. American Mathematical Society, Providence, RI, 2019.
- R. S. Strichartz, A guide to distribution theory and Fourier transforms. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1994.
- V. Serov, Fourier Series, Fourier Transform and their Applications to Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences, Vol. 197, Springer International Publishing, 2017.
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