Cuando me topo con el número 33 me acuerdo de mi abuela Rosario que, cada vez que oía ese número, lo asociaba a «la jota de Ollauri». Por lo que se ve, hubo un tiempo en el que algunas personas de Ollauri cantaban una jota que alguna de cuyas estrofas decía «33, 33, 33,…» (observe el lector el cuidado que he intentado poner para evitar ofender a los habitantes de ese pequeño municipio riojano reconocido por sus bodegas que crían el vino en un kilómetro de calados excavados entre los siglos XV y XVIII). En 1966, quizás mientras mi abuela me cantaba esa jota para intentar dormirme, Leon J. Lander y Thomas R. Parkin, encontraron, con ayuda de un ordenador CDC 6600, que
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27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.
$$
¿Qué interés tiene esto?
Euler había probado en 1740 que la ecuación \(x^3 + y^3 = z^3\) no tenía soluciones enteras no nulas.
Quizás animado por ese éxito, en 1769 conjeturó que, si para algún exponente entero \(n \ge 2\) y un número de sumandos \(k \ge 2\), se cumplía
$$
a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n = c^n
$$
con \(a_1,a_2,\dots,a_k\) y \(c\) enteros positivos, forzosamente debía ser \(k \ge n\).
Es decir que, cuando \(n \ge 2\), al menos se necesitan \(n\) potencias \(n\)-ésimas para obtener una suma que es también una potencia \(n\)-ésima. Lo que Lander y Parkin habían encontrado era un contraejemplo a la conjetura de Euler para \(n=5\). Con él publicaron el que posiblemente sea el artículo de investigación matemático más corto de la historia [4], y que mostramos a continuación:
En su época, el contraejemplo de Lander y Parkin requirió un considerable esfuerzo computacional. Hace unos meses se me ocurrió preguntarme cuánto costaría ahora encontrar ese contraejemplo buscando por fuerza bruta, es decir, probando poco a poco con todos los números hasta verlo aparecer. Un ordenador actual es mucho más potente que uno de entonces, así que pensé en hacerlo con mi móvil, no particularmente nuevo. Escribí en él un programita en Lua (un lenguaje de programación interpretado, más lento que uno compilado) y probé: 8 segundos bastaban.
Encontrar un contrajemplo a la conjetura de Euler para \(n=4\) fue más complicado.
¿Podría ser cierto que no existieran enteros positivos \(x\), \(y\), \(z\) y \(t\) tales que \(x^4 + y^4 + z^4 = t^4\)?
La respuesta se resistió hasta 1987, cuando Noam Elkies comprobó —utilizando curvas elípticas y ayuda computacional— que la conjetura era falsa también en este caso: dio con la solución
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2\,682\,440^4 + 15\,365\,639^4 + 18\,796\,760^4 = 20\,615\,673^4
$$
e incluso probó que existía una clase infinita de soluciones. El año siguiente, Roger Frye encontró
$$
95\,800^4 + 217\,519^4 + 414\,560^4 = 422\,481^4
$$
y demostró que era la menor solución posible. Merece la pena comentar que aún no se sabe qué ocurre con potencias sextas o superiores.
¿Y qué tiene esto que ver con el número \(33\) que mencionábamos al principio?
Las ecuaciones para las que se buscan soluciones enteras se denominan ecuaciones diofánticas. La razón de tal nombre es que, en el siglo III, Diofanto de Alejandría se ocupó de describir métodos de resolución para muchas de esas ecuaciones (véase [2]); realmente, él buscaba soluciones racionales y positivas, pero actualmente el término «diofántico» se aplica, fundamentalmente, cuando las soluciones requeridas son enteras. Fue en el margen de un ejemplar del libro de Diofanto donde Fermat escribió su archirrepetida afirmación sobre la ausencia de soluciones enteras (y no triviales) de la ecuación \(x^n + y^n = z^n\) para \(n \ge 3.\) El décimo de los 23 problemas que propuso David Hilbert en su famosa conferencia Los problemas futuros de la matemática que pronunció en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900, y que tanta influencia ha tenido en el desarrollo de las matemáticas del siglo XX, trataba sobre ecuaciones diofánticas. Con un alarde de optimismo, Hilbert preguntaba si existía un algoritmo universal para resolver dichas ecuaciones. Fue en 1970 cuando el joven matemático ruso Yuri Matiyasevich probó que tal método aplicable a resolver cualquier ecuación diofántica no podía existir. He de confesar que, a mí, estas ecuaciones me fascinan, pero habitualmente me tengo que limitar a observarlas desde la lejanía.
Pues resulta que el número \(33\) ha sido el reciente protagonista de una sencilla ecuación diofántica para la que, hasta ahora, no se conocía ninguna solución. Por sugerencia del matemático Louis J. Mordell, en 1955 [5], J. C. P. Miller y M. F. C. Woollett programaron el computador EDSAC de la Universidad de Cambridge para buscar soluciones enteras de la ecuación
$$
k = x^3 + y^3 + x^3
$$
con \(k\) un entero no nulo prefijado (véase [5]), que debe ser \(k \not\equiv \pm4 \pmod{9}\) para que puedan existir soluciones (como \(t^3 \equiv 0\), \(1\) o \(-1 \pmod{9}\), se necesitan al menos cuatro cubos para que su suma tenga la forma \(9m\pm4\)). De hecho, en 1992, quizás a la vez que en Sevilla ardía el Pabellón de los Descubrimientos, D. R. Heath-Brown [3] conjeturó, basándose en argumentos heurísticos, que dicha ecuación debía tener infinitas soluciones enteras para cualquier \(k\) admisible. Hasta hace poco, se conocían soluciones para todos los \(k < 1000\) excepto para los números \(33\), \(42\), \(114\), \(165\), \(390\), \(579\), \(627\), \(633\), \(732\), \(795\), \(906\), \(921\) y \(975\). Para buscar tales soluciones, resulta fundamental la ayuda de potentes ordenadores y el uso del algoritmo de Elkies, el mismo matemático que nos ha aparecido antes, así como algunas ideas que han permitido hacerlo más rápido.
En marzo de 2019, Andrew R. Booker ha hallado la primera solución de esa ecuación con \(k=33\), que es
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33 = 8\,866\,128\,975\,287\,528^3 + (-8\,778\,405\,442\,862\,239)^3 + (-2\,736\,111\,468\,807\,040)^3.
$$
Por supuesto, esta solución no es fácil de encontrar, así que, en lugar de publicar con ella un artículo tan corto como el de Lander y Parkin, su descubridor nos ha dado los detalles del proceso que ha seguido para dar con ella gracias a un superordenador masivamente paralelo de la Universidad de Bristol; se pueden ver en [1]. En este tipo de búsquedas no sólo es importarte disponer de algoritmos especializados y ordenadores potentes, sino optimizar la velocidad de ejecución de dichos algoritmos, así que Booker ha empleado lenguaje C con algunas rutinas en ensamblador (la verdad es que el que esto escribe no entiende por qué muchas universidades no explican C como primer lenguaje de programación a los alumnos de matemáticas, en lugar de otros indudablemente peores en cuanto a rendimiento). Booker también ha buscado una solución para \(k=42\) pero, de momento, sin éxito.
Referencias
[1] A. R. Booker, Cracking the problem with \(33\),
prepublicación disponible en https://arxiv.org/abs/1903.04284
[2] Diofanto de Alejandría, La Aritmética y el libro Sobre los números poligonales,
2 vols., Nivola (Colección Epistéme 6 y 7), Tres Cantos (Madrid), 2008.
Versión en castellano, introducción, notas y apéndices de
M. Benito, E. Fernández y M. Sánchez.
[3] D. R. Heath-Brown, The density of zeros of forms for which weak approximation fails,
Math. Comp. 59 (1992), 613-623.
[4] L. J. Lander y T. R. Parkin,
Counterexample to Euler’s conjecture on sums of like powers,
Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 1079.
[5] J. C. P. Miller y M. F. C. Woollett,
Solutions of the Diophantine equation \(x^3 +y^3 +z^3 = k\),
J. London Math. Soc. 30 (1955), 101-110.
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