En nuestra anterior entrada, vimos en qué consistía el problema de las particiones, y aquí veremos las aportaciones que Ramanujan hizo junto con Hardy.
El trabajo de Ramanujan
Uno de los temas en los que trabajaron conjuntamente Hardy y Ramanujan cuando éste llegó a Cambridge en 1914 fue en el cálculo del número de particiones; es decir, de cuántas formas distintas podemos escribir cada \(n\) como suma de enteros positivos, número al que denominamos \(p(n)\).
Ramanujan creía poder encontrar una fórmula que diera \(p(n)\). Al menos, de manera aproximada. Con la fórmula recursiva de Euler era posible encontrar \(p(n)\) de manera sistemática, pero a costa de un gran trabajo. El matemático Percy MacMahon (el «mayor MacMahon», tal como se refieren a él Hardy y Ramanujan), colega de Hardy en Cambridge, había calculado hasta \(p(200)\). Así, por ejemplo:
\begin{align*}
p(1) &= 1, &
p(5) &= 7, &
p(10) &= 42, \\
p(15) &= 176, &
p(20) &= 627, &
p(25) &= 1\,958, \\
p(30) &= 5\,604, &
p(30) &= 37\,338, &
p(50) &= 204\,226, \\
p(100) &= 190\,569\,292, &
p(150) &= 40\,853\,235\,313, &
p(200) &= 3\,972\,999\,029\,388.
\end{align*}
MacMahon no pensaba que Ramanujan pudiera encontrar un método para calcular \(p(n)\), o para estimarlo con un error pequeño. Ramanujan, por el contrario, estaba convencido de tenerlo, y, de hecho, ya había fórmulas al respecto en la archifamosa carta que escribió a Hardy en 1913, como consecuencia de la cual Hardy lo llevó a Cambridge. Pero se enfrentaba al reto —tremendo para él— de poderlo no sólo enunciar, sino demostrar. Ahí, desde luego, entraba en juego Hardy y sus esfuerzos para conseguir que las intuiciones de Ramanujan se pudieran plasmar de manera correcta y con su correspondiente demostración rigurosa.
Primeras fórmulas asintóticas
Los esfuerzos conjuntos dieron sus frutos, y en 1917 publican un primer artículo [5] sobre el tema, precursor del trabajo principal (los artículos de Ramanujan también se pueden ver en los Collected papers [4]; más aún, todos sus artículos, así como sus notebooks, están disponibles en https://ramanujan.sirinudi.org). En ese primer artículo muestran varios tipos de aproximaciones para \(p(n)\), con distinta precisión.
En particular, aproximando
\[
p(n) \sim P(n) := \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{2n/3}}
\]
obtienen
\[
\begin{array}{ccccc}
\hline
n & 10 & 20 & 50 & 80 \\
\hline
p(n) & 42 & 627 & 204\,226 & 15\,796\,476 \\
P(n) & 48 & 692 & 217\,590 & 16\,606\,781 \\
P(n)/p(n) & 1.145 & 1.104 & 1.065 & 1.051 \\
\hline
\end{array}
\]
También proporcionan
\[
p(n) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{2}} \frac{d}{dn}
\frac{e^{\pi \sqrt{\frac{2}{3} \left(n-\frac{1}{24}\right)}}}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}
+ O\big(e^{k \sqrt{n}}\big)
=: Q(n) + O\big(e^{k \sqrt{n}}\big)
\]
con \(k\) cualquier número mayor que \(\pi/\sqrt{6}\). Como se ve, la aproximación que se consigue con esta fórmula es ya muy buena:
\[
\begin{array}{cccc}
\hline
n & 61 & 62 & 63 \\
\hline
p(n) & 1\,121\,505 & 1\,300\,156 & 1\,505\,499 \\
Q(n) & 1\,121\,539 & 1\,300\,121 & 1\,505\,536 \\
\hline
\end{array}
\]
(unas veces por exceso y otras por defecto).
Así mismo, muestran la aproximación
\begin{align*}
p(n) &= \frac{1}{2 \pi \sqrt{2}} \frac{d}{dn}
\frac{e^{\pi \sqrt{\frac{2}{3} \left(n-\frac{1}{24}\right)}}}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}
+ \frac{(-1)^n}{2 \pi} \frac{d}{dn}
\frac{e^{\frac{1}{2} \pi \sqrt{\frac{2}{3} \left(n-\frac{1}{24}\right)}}}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}
\\
&\qquad + \frac{\sqrt{3}}{\pi\sqrt{2}} \cos\Big( \frac{2n\pi}{3}-\frac{\pi}{18} \Big)
\frac{d}{dn}
\frac{e^{\frac{1}{3} \pi \sqrt{\frac{2}{3} \left(n-\frac{1}{24}\right)}}}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}
+ O\big(e^{k \sqrt{n}}\big).
\end{align*}
con \(k\) cualquier número mayor que \(\pi/\sqrt{24}\).
Fórmula asintótica completa
En 1918 aparece publicado el artículo principal [6], que contiene expresiones asintóticas más completas así como las demostraciones de los resultado que se presentan.
Dicho desarrollo asintótico completo es
\[
p(n) = \frac{1}{2\pi\sqrt{2}} \sum_{k \le \alpha\sqrt{n}} A_{k}(n) \sqrt{k} \,
\frac{d}{dn} \Bigg\{\frac{\exp\Big(\frac{\pi}{k} \sqrt{\frac{2}{3}(n-1/24)}\,\Big)}{\sqrt{n-1/24}}\Bigg\}
+ O\big(n^{-1/4}\big)
\]
con \(\alpha\) una constante positiva arbitraria, y siendo
\[
A_{k}(n) = \sum_{\begin{smallmatrix}0 \le h < k\\ \operatorname{mcd}(h,k)=1\end{smallmatrix}}
\omega_{h,k} \exp\bigg({-2\pi} i\frac{h}{k} n\bigg),
\]
donde
\[
\omega_{h,k} = \exp\bigg( \pi i \sum_{\mu=1}^{k-1} \frac{\mu}{k}
\Big( \frac{h\mu}{k} – \Big[ \frac{h\mu}{k} \Big] – \frac{1}{2} \Big) \bigg)
\]
(se usa \([\,\cdot\,]\) para denotar la parte entera). Para ser precisos, debemos aclarar que la descripción de Hardy-Ramanujan para \(\omega_{h,k}\) era más complicada; esta formulación para los \(\omega_{h,k}\), que resulta equivalente a la original, la proporcionó Rademacher en 1932. En su artículo, Hardy y Ramanujan comparan \(p(100)\) y \(p(200)\) (calculados por MacMahon) con lo que proporciona su fórmula:
\[
\begin{array}{ccccc}
\hline
n & p(n) \text{ (exacto)} & \text{sumandos} & \text{valor aproximado} & \text{error} \\
\hline
100 & 190\,569\,292 & 6 & 190\,569\,291.996 & 0.004 \\
200 & 3\,972\,999\,029\,388 & 8 & 3\,972\,999\,029\,388.004 & 0.004 \\
\hline
\end{array}
\]
Según lo que habían logrado demostrar, la fórmula representa \(p(n)\) con un error \(O(n^{-1/4})\). Como \(p(n)\) es un entero, esto basta para obtener el valor exacto para \(n\) suficientemente grande. Más aún, es fácil darse cuenta que el error que se observa en la tabla parece ser mucho menor que ese \(O(n^{-1/4})\). De hecho, el propio Hardy confesó que la aproximación era mucho mejor de lo que esperaban, y que podía haber detrás un resultado más preciso (como veremos un poco más adelante, estaba en lo cierto).
Conviene recalcar que la fórmula de Hardy-Ramanujan es una expresión asintótica; es decir, que, si hacemos \(\sum_{k=1}^{\infty}\), no es una serie convergente. Si uno no ha visto eso antes, le puede sonar un poco raro, pero realmente es algo habitual. Por ejemplo, es lo mismo que le ocurre a la fórmula de Stirling para el factorial:
\[
\log(n!) \sim n \log(n) – n + \frac{1}{2} \ln(2\pi n)
+ \sum_{k=1}^{N} \frac{B_{2k}}{2k(2k-1) n^{2k-1}}
\]
(los \(B_k\) son los números de Bernoulli), o a las sumas de Euler-Maclaurin.
¿Cómo es la demostración?
La demostración de la expresión asintótica de Hardy-Ramanujan no es sencilla; además de la fórmula de Euler, se usan el teorema de Cauchy con integrales de variable compleja, funciones elípticas y teoremas tauberianos. No es éste lugar adecuado para darla, pero posiblemente no está de más ver cómo comienza.
Recordemos la fórmula generadora de particiones de Euler:
\[
G(x) := \prod_{m=1}^{\infty} \frac{1}{1-x^{m}} = \sum_{n=0}^{\infty} p(n) x^n,
\qquad |x| < 1.
\]
En particular,
\[
p(n) = n! \,\frac{d^n}{dx^n} G(x)\Big|_{x=0}.
\]
Además, aplicando el teorema de Cauchy a \(G(x)\) (como función de variable compleja), tenemos
\[
G^{(n)}(0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{G(x)}{x^{n+1}}\,dx,
\]
con \(\gamma\) una circunferencia centrada en el origen y radio menor que \(1\).
Entonces,
\[
p(n) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{G(x)}{x^{n+1}}\,dx.
\]
Esto ha permitido relacionar la función \(p(n)\) con una integral compleja en la que se puede aplicar toda la maquinaria del análisis complejo.
La fórmula de Rademacher
Modificando ligeramente el método de Hardy-Ramanujan, en 1937, Hans Rademacher [7] dio una representación de \(p(n)\) por medio de una serie convergente:
\[
p(n) = \frac{1}{\pi\sqrt{2}} \sum_{k=1}^{\infty} A_{k}(n) \sqrt{k} \,
\frac{d}{dn} \Bigg\{\frac{\operatorname{senh}\Big(\frac{\pi}{k}
\sqrt{\frac{2}{3}(n-1/24)}\,\Big)}{\sqrt{n-1/24}}\Bigg\}
\]
con los mismos \(A_{k}(n)\) que antes.
La fórmula asintótica de Hardy-Ramanujan es un «corolario inmediato» de ésta. De hecho, si uno recuerda que \(\operatorname{senh}(x) = (e^x – e^{-x})/2\), es fácil convencerse de que, al menos aparentemente, ambas expresiones no son muy distintas.
El caso es que el método que ahora se conoce como de Hardy-Ramanujan-Rademacher (también denominado «método del círculo», por el círculo de radio menor que \(1\) que se usa en la demostración por medio de integrales de variable compleja), y que se plasma en la fórmula que acabamos de mostrar, resuelve en modo completo y muy satisfactorio un importante problema clásico planteado por Leibniz y Euler.
Aproximadamente a la vez que Rademacher, Atle Selberg (medalla Fields en 1950), que entonces tenía 20 años, obtuvo el mismo resultado que Rademacher, aunque con una fórmula distinta para los coeficientes \(A_k(n)\). Aunque, cuando Selberg conoció que ya Rademacher había encontrado la serie convergente, decidió no publicar su resultado, y sólo se supo de ello bastantes años más tarde.
Quizás no está de más concluir esta reseña citando que Selberg fue muy crítico con Hardy porque, según su opinión, el exceso de celo de Hardy en el rigor que exigía a Ramanujan había impedido que este último diera con la fórmula exacta. ¿Quién puede saberlo?
Referencias
[1] T. M. Apostol, Introducción a la Teoría Analítica de Números, Reverté, Barcelona, 1980.
[2] L. Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748), cap. 16, «De partitione numerorum», Opera omnia, ser.1, 8; «De partition enumerorum» (1753), Opera omnia, ser. 1, 2, p. 280.
[3] L. Euler, Introductio in analysin infinitorum} (Introducción al análisis de los infinitos), editado por A. J. Durán y F. J. Pérez, 2 vols. (facsímil y edición crítica), SAEM Thales y Real Sociedad Matemática Española, Sevilla, 2000.
[4] G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar y B. M. Wilson (editores), Collected papers of Srinavasa Ramanujan, Cambridge University Press, 1927.
[5] G. H. Hardy y S. Ramanujan, Une formule asymptotique pour le nombre des partitions de \(n\), Comptes Rendus, 2 Jan. 1917.
[6] G. H. Hardy y S. Ramanujan, Asymptotic formules in combinatory analysis, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 17 (1918), 75–115.
[7] H. Rademacher, A convergent series for the partition function \(p(n)\), Proc. Nat. Acad. Sci. 23 (1937), 78–84.
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